Геометричний броунівський рух

Геометричний броунівський рух (GBM) — випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух(вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес S_t є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$

де $W_t$ є броунівський рух, а $\mu$ («параметр сноса») і $\sigma$ («параметр волатильності») постійні.

Для довільного початкового значення S₀ дане СДР має розв'язки

$S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),$

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням $\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0$ і дисперсією $\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).$

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина log(S_t/S₀) розподілена нормально з маточікуванням $(\mu - \sigma^2/2)t$ і дисперсією $\sigma^2t$, що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про «геометричність» процесу.

Література

• Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 408 с.