Головне значення інтеграла за Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.

Так, наприклад, інтеграл \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x} як невласний інтеграл ІІ роду не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.

Означення головного значення інтеграла за Коші[ред.ред. код]

Означення (для особливої точки «∞»)[ред.ред. код]

Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, але невласний інтеграл І роду  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx є розбіжним. Якщо існує скінченна границя
 \lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{-A}^{A} f(x)\, dx,

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом

 \mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx.

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл  \int_{-\infty}^{+\infty}x\, dx. Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл  \int_{0}^{+\infty}x\, dx, але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:

\mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty}x\, dx = \lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{-A}^{A}x\, dx 
=
\lim_{A \rightarrow +\infty} \frac{x^{2}}{2}\Bigr|_{-A}^{A} = 0.
Теорема.
  • Якщо f(x) — непарна на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, то f інтегровна на (−∞, +∞) за Коші.
  • Якщо f(x) — парна на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, то збіжність інтеграла \int_{-\infty}^{ +\infty}f(x) \, dx еквівалентна збіжності інтеграла \int_{0}^{ +\infty}f(x)\, dx.

Означення (для скінченної особливої точки)[ред.ред. код]

Значення площ фігур ліворуч та праворуч рівні при всіх ε ∈ (0, 2), тому головне значення інтеграла за Коші дорівнює нулю
Означення (для скінченної особливої точки).Нехай функція f : [ab] → R задовольняє умовам:
  1. існує δ > 0 таке, що fR([a, c − ε]) та fR([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
  2. розбіжним є невласний інтеграл другого роду  \int_a^b f(x) \, dx.

Якщо існує скінченна границя

 \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \left(
\int_{a}^{c-\varepsilon}f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^{b}f(x) \, dx \right),

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [ab] і позначається символом

 \mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\, dx.

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [ab] за Коші (або інтегрована на [ab] в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду  \int_{-2}^{2}\frac{dx}{x} (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл \int_{-2}^{0}\frac{dx}{x}. При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:

\begin{align}\mathrm{v.p.} \int_{-2}^{2}\frac{dx}{x} & = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \left( \int_{-2}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x} + \int_{\varepsilon}^2 \frac{dx}{x} \right)  =
\\
& = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \left( \ln|x| \Bigr|_{-2}^{-\varepsilon} + \ln|x| \Bigr|_{\varepsilon}^2 \right) =
\\
& = \lim_{\varepsilon\rightarrow +0} \big(\ln |-\varepsilon| - \ln |\varepsilon|\big) =
\\ & = 0. 
\end{align}

Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегрування[ред.ред. код]

Сума площ фігур верхньої півплощини співпадає із сумою площ фігур нижньої півплощини при всіх ε ∈ (0, 1), тому головне значення інтеграла в сенсі Коші дорівнює нулю
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл  \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2-1}\, dx (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл
 \begin{align} 
\int_{2}^{+\infty} \frac{2x}{x^2-1}\, dx & = \lim_{A \to +\infty} \int_{2}^{A} \frac{2x}{x^2-1}\, dx =
\\
& = \lim_{A \to +\infty} \ln |x^2-1| \Bigr|_{x=2}^A =
\\
& =  \lim_{A \to +\infty} \big(\ln |A^2-1| - \ln 3 \big) =
\\
& = + \infty.
\end{align}

Очевидно, що fR([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:

 \begin{align} 
\mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2-1}\, dx 
& = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( 
\int_{-1/\varepsilon}^{-1-\varepsilon} \frac{2x}{x^2-1}\, dx +
\int_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} \frac{2x}{x^2-1}\, dx +
\int_{1+\varepsilon}^{1/\varepsilon} \frac{2x}{x^2-1}\, dx
\right) =
\\
& = \lim_{\varepsilon \to +0} \Big( 
\ln |x^2-1|\Bigr|_{-1/\varepsilon}^{-1-\varepsilon} +
\ln |x^2-1|\Bigr|_{-1+\varepsilon}^{1-\varepsilon} +
\ln |x^2-1|\Bigr|_{1+\varepsilon}^{1/\varepsilon}
\Big) =
\\
&= 0.
\end{align}

Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]