Голоморфна функція

Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, що визначена на відкритій підмножині комплексної площини $\C$, що має неперервну комплексну похідну.

Іншими словами, комплексна функція $u+i v=f(x+i y)$ є голоморфною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови Коші — Рімана

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

й часткові похідні $\frac{\partial u}{\partial x},\,\frac{\partial u}{\partial y},\,\frac{\partial v}{\partial x},\,\frac{\partial v}{\partial y}$ неперервні.

Властивості

• Похідна голоморфної функції є теж голоморфною, тому голоморфні функції є нескінченно диференційовними у своїй області визначення.
• Голоморфні функції є аналітичними, тобто можуть бути представлені у вигляді ряду Тейлора, що збігається у деякому околі кожної точки.
• Якщо абсолютна величина голоморфної функції досягає локального максимуму у внутрішній точці своєї області визначення, то вона постійна (вважається, що область визначення зв'язна).

Див. також

• Антиголоморфна функція