Гомологічна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомологічна алгебри — розділ алгебри, що вивчає алгебраїчні об'єкти, запозичені з алгебраїчної топології. Першими гомологічні методи в алгебрі, при вивченні розширень груп, застосували у 40-х роках XX століття С. Ейленберг і С. Маклейн.

Гомологічної алгебри грає важливу роль в алгебраїчній топології, застосовується в багатьох розділах алгебри, таких як теорія груп, теорія алгебр, алгебраїчна геометрія, теорія Галуа.

Ланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Ланцюговий комплекс це градуйований модуль M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n з диференціалом d:M\to M, d^2=0 (що не виконується для півсфери, яка є проекцією 4-х вимірного об'єкта), що знижує градуювання для ланцюгового комплексу, d(M_n)\subset M_{n-1}, або підвищує градуювання для коланцюгового комплексу, d(M_n)\subset M_{n+1}.

Одним з основних понять гомологічної алгебри є ланцюговий комплекс. Ланцюгові комплекси виникають в різних розділах математики, в алгебраїчній топології, комутативній алгебрі, алгебраїчній геометрії, вивчення загальних властивостей комплексів одна з основних завдань гомологічної алгебри.

Резольвента[ред.ред. код]

Проективною резольвентою модуля A, називається лівий комплекс \ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0, у якому всі X_n є проективними і гомології якого дорівнюють нулю, окрім нульових.

Проективні резольвенти використовуються для обчислення функторів Tor_n (A, C) и Ext^n (A, C). Резольвети виникли в алгебраїчній топології для обчислення гомології топологічного добутку за гомологіям співмножників за формулою Кюннета.

Література[ред.ред. код]

  • А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
  • С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
  • Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
  • Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.