Гомоморфізм

Гомоморфізм (від грец. homos – однаковий і грец. morphe – форма) — це морфізм в категорії алгебраїчних систем.

В термінах універсальної алгебри, це відображення $\phi: A \rightarrow B \!$, алгебраїчної системи $A \!$ в алгебраїчну систему $B \!$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

$\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n)) \!$

для кожної n-арної операції $f \!$ і $\forall x_i \in A$.

Базові приклади

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх2 × 2 матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цим кільцями так:

$f(r) = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix}$

де r дійсне число. Тоді ƒ — гомоморфізм кілець, бо ƒ зберігає і додавання:

$f(r+s) = \begin{pmatrix} r+s & 0 \\ 0 & r+s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} = f(r) + f(s)$

і множення:

$f(rs) = \begin{pmatrix} rs & 0 \\ 0 & rs \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} = f(r)\,f(s).$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію ƒ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

$f(z) = |z|.\,\!$

Де, ƒ(z) — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа z. Тоді ƒ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

$f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2| = f(z_1)\,f(z_2).$

Зауважте, що ƒ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

$|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.$

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебраїчних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

Часткові випадки

• Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.
• Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм.
• Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.
• Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе.
• Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.

Вищеозначені терміни використовуються і в теорії категорій, де вони визначені загальнішим чином.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм $\ \phi: A \rightarrow B$ визначає відношення еквівалентності $\ \sim$ в $\ A$ так:

$\ x \sim y \;\; \iff \;\; \phi{(x)}=\phi{(y)}.$

Відношення $\ \sim$ називається ядром $\ \phi.$

• Фактормножина $\ X/\!\sim$ ізоморфна образу $\ \phi.$

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини X утворює моноїд, позначається End(X).
• Множина всіх автоморфізмів множини X утворює групу, позначається Aut(X).

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Література

• Кон П. (1968). Универсальная алгебра. Москва: Мир. с. 351.