Гомоморфізм груп

Гомоморфі́зм груп — відображення $\ \phi$ групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi : G \rightarrow H: \quad \phi(x * y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.$

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи (G, *) переходить в одиницю групи (H, ·); обернені елементи переходять в обернені.

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів (G, *), що відображаються в одиницю групи (H, ·):

$ker \ \phi = \{ x \in G: \; \phi (x) = e_H \}.$

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів H, що є образами елементів G:

$im \ \phi = \phi (G).$

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

$\phi(A)=\operatorname{det}(A), \quad A\in \mathit{GL(n,\R)}$,

що є відображенням групи $\mathit{GL(n,\R)}$ невироджених лінійних перетворень простору $\R^n$ на мультиплікативну групу дійсних чисел $\R^* = \R\setminus \{0\}$.

Як добре відомо, $\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B).$

Див. також

• Ізоморфізм груп
• Гомоморфізм
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• Кон П. (1968). Универсальная алгебра. Москва: Мир. с. 351.