Гомоморфізм груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гомоморфі́зм групвідображення \ \phi групи (G, *) в групу (H, ·), що зберігає групову операцію, тобто:

 \phi : G \rightarrow H: \quad \phi(x * y) = \phi(x) \cdot \phi(y) \quad \forall \mathit{x,y} \in G.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи (G, *) переходить в одиницю групи (H, ·); обернені елементи переходять в обернені[1].

Тоді:

Ядро гомоморфізмупідмножина всіх елементів (G, *), що відображаються в одиницю групи (H, ·):

 ker \ \phi = \{ x \in G: \; \phi (x) = e_H \}.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів H, що є образами елементів G:

 im \ \phi = \phi (G).

Властивості[ред.ред. код]

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

 \phi(A)=\operatorname{det}(A), \quad A\in \mathit{GL(n,\R)},

що є відображенням групи  \mathit{GL(n,\R)} невироджених лінійних перетворень простору  \R^n на мультиплікативну групу дійсних чисел  \R^* = \R\setminus \{0\} .

Як добре відомо,  \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). «12.1-6, 12.2-9». Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Джерела[ред.ред. код]