Гомотопія

Гомотопія — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення

Нехай $X$ та $Y$ — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору $X$ в простір $Y$. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення $H\colon X \times [0,1] \to Y$ таке, що $f(x) = H(x, 0)$ і $g(x) = H(x, 1)$ для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки

• Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
• Якщо на деякій підмножині $A\subset X,\; F(t,a)=f(a)$ для всіх $t$ при $a\in A$, то $F$ називається гомотопією відносно $A$, а $f$ і $g$ гомотопними відносно $A$.
• Ізотопія — гомотопія топологічного простору $X$ по топологічному простору $Y,$ тобто $f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]$, в якій при будь-кому $t$ відображення $f_t$ є гомеоморфізмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Гомотопічна еквівалентність

• Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів $X$ і $Y$ — пара неперервних відображень $f\colon X\to Y$ і $g\colon Y\to X$ така, що $f\circ g\sim\operatorname{id}_Y$ і $g\circ f\sim\operatorname{id}_X$, тут $\sim$ позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що $X$ і $Y$ гомотопно еквівалентні, або $X$ з $Y$ мають один гомотопний тип.

Властивості

• Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень $X\to Y$

Рефлексивність. Якщо $f\colon X\to Y$ — деяке неперервне відображення, тоді функція $H\colon X \times I \to Y$ визначена $H(x, t) = f(x)$ буде гомотопією між f і f.

Симетричність. Нехай відображення $f\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $g\colon X\to Y$ і $H\colon X \times I \to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією $H^'(x, t) = H(x,1 - t)$.

Транзитивність. Нехай відображення $f\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $g\colon X\to Y$ і $H\colon X \times I \to Y$ — відповідна гомотопія. Нехай також відображення $g\colon X\to Y$ гомотопне відображенню $h\colon X\to Y$ і $F\colon X \times I \to Y$ — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:

$G(x,t)=\begin{cases}H(x,2t);&t \in [0; 0,5], \\ H(x,2t-1);&t \in (0,5; 1],\end{cases}$

• Усі відображення $h_t(x) = H(x, t)\,$ є неперервними.
• Якщо $\ f, f'\colon X\to Y,g\colon Y\to B,h\colon A\to X$ — неперервні відображення, і $H\colon X \times I \to Y$ — гомотопія між $f$ і $f'$, то $g\circ H \circ (h \times I)$ є гомотопією між $g\circ f \circ h$ і $g\circ f' \circ h$.

Приклади

• Якщо $Y = \R^m$, то функції $f$ і $g$ є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: $H(x,t) = f(x) + t\left[g(x) - f(x)\right].$
• Множини $X = [0, 1], \; Y = (0, 1)$ є гомотопічно еквівалентними, але не гомеоморфними.
• Одиничне коло $\mathcal S^1$ гомотопно еквівалентне простору $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$.

Література

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971