Градуйована алгебра

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце,модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця

Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

$A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots$

і виконується властивість:

$x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}$

тобто

$A_s A_r \subseteq A_{s + r}.$

Елементи $A_n$ називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал $\mathfrak{a}$ ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ $\mathfrak{a}$, всі однорідні складові a також належать $\mathfrak{a}.$

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце $A/I$ також є градуйованим кільцем, що має розклад:

$A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.$

Градуйовані модулі

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

$M = \bigoplus_{i\in \mathbb N}M_i ,$

і

$A_iM_j \subseteq M_{i+j}.$

Градуйовані алгебри

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

1. $A_iR_j \subset A_{i+j}$, і
2. $R_iA_j \subset A_{i+j}$.

G - градуйована алгебра

Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів $A_g$ по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

$A_f A_g \subset A_{fg}$

Якщо ненульовий елемент a належить $A_g$, то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями

• Якщо A — G-градуйована алгебра, а $\psi : G\to H$ — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:

$A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}$

• На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи $A_e=A$.

• Над полем $\mathbb{C}$ будь-яка алгебра A градуюється групою G характерів максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів:

$G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a,$ для всякого $\phi\in T(Aut_{k-alg}(A))\}$.

Приклади

• Кільце многочленів від однієї або декількох змінних.
• Кільце когомологій
• Алгебра матриць порядку n градуюється групою $\mathbb{Z}_{n-1}$
• Напівгрупова алгебра $K\left[G\right]$ є G-градуйованою алгеброю.

Література

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982