Границя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Границя — одне з основних понять функціонального аналізу (а також математичного аналізу, який є скінченновимірним випадком функціонального), яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення. Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначається через границю.

Границя послідовності[ред.ред. код]

Стале число a називається границею послідовності (варіанти) x=x_n, якщо для кожного додатнього числа \epsilon, скільки б малим воно не було, існує такий номер N, що всі значення x_n, в яких номер n > N, задовільняє нерівності

|x_n - a| < \epsilon

Той факт, що a є границею варіанти, позначають так: \lim_{n \rightarrow  \infty  }  x_n=a або просто \lim x=a чи x_n \rightarrow a, n \rightarrow \infty. Номер N залежить від вибору числа \epsilon. При зменшенні \epsilon число N буде збільшуватись. Тобто, чим більшої близькості значень варіанти x_n до a ми вимагаємо, тим більш далекі значення її в ряду ми вимушені розглядати.

Границя функції[ред.ред. код]

Означення за Коші[ред.ред. код]

Нехай A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}, x_0 — гранична точка множини A. Число a називається границею функції f у точці x_0, якщо

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x \in A \cap B(x_0, \delta) \setminus \{x_0\} :  |f(x)-a|<\varepsilon

Позначення:

 a=\lim_{x \to x_0}{f(x)}

або

f(x) \to a при  x \to x_0

Означення за Гейне[ред.ред. код]

Число A називається границею функції f(x) в точці x0 якщо для довільної послідовності {xn} що збігається до числа x0 відповідна послідовність значеннь функції {f(xn)}збіжна і має границею одне і теж саме число A

Границя послідовності функцій[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]