Границя функції в точці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Означення[1][ред.ред. код]

Означення за Коші:[ред.ред. код]

Нехай A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}, x_0 — гранична точка множини A. Число a називається границею функції f у точці x_0, якщо

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \quad \forall x \in A \cap B(x_0, \delta) \setminus \{x_0\} :  |f(x)-a|<\varepsilon

Позначення:

 a=\lim_{x \to x_0}{f(x)}

або

f(x) \to a при  x \to x_0

Означення за Гейне: Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення відповідна послідовність значень функції збігається до того самого числа, то це число називають границею функції в точці.

Односторонні границі[ред.ред. код]

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тільки тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

  • Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:
    \lim\limits_{x\to a+}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a+0}f(x),\ \ \lim_{x \downarrow a} f(x),\ \  \lim_{x \searrow a} f(x);
  • Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:
    \lim\limits_{x\to a-}f(x),\ \ \lim\limits_{x\to a-0}f(x),\ \ \lim_{x \uparrow a} f(x),\ \  \lim_{x \nearrow a} f(x).
  • Використовуються також наступні скорочення:
    • f \left( a+ \right) і f \left( a + 0 \right) для правої границі;
    • f \left( a- \right) і f \left( a - 0 \right) для лівої границі.

Література[ред.ред. код]

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  • М.О.Дзедзінський (2010). Математичний Аналіз для студентів. Львів: Листочок. 

Виноски[ред.ред. код]