Границя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Границя — одне з основних понять математики, яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між елементами (точками) множини, в якій вказана величина набуває значення.

Основні поняття математичного аналізу — неперервність, похідна, інтеграл — визначають через границю.

Границя послідовності[ред. | ред. код]

Стале число називають границею послідовності , якщо для кожного додатного числа , скільки б малим воно не було, існує такий номер , що всі значення , в яких номер , задовольняють нерівність

Той факт, що є границею послідовності, позначають так: або просто чи . Номер залежить від вибору числа . При зменшенні число буде збільшуватись. Тобто, чим більш близькі члени послідовності до вимагати, тим більші значення їх індексів.

Границя функції[ред. | ред. код]

c
Для всіх x > S, f(x) перебуває в межах ε із L.

Нехай , причому , і  — гранична точка множини . У подальшому будемо розглядати функції .

Означення за Коші[ред. | ред. код]

Число називається границею функції в точці , якщо для кожного додатного числа існує додатне число таке, що для довільного виконується нерівність

Позначення:

або

при .

Під і можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. У цих позначеннях похибка обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані до граничної точки.

Означення за Гейне[ред. | ред. код]

Число називається границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .


Наприклад,

.

Як видно f(1) не визначено, але коли x наближається до 1, то f(x) відповідно наближається до 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 не визначено 2.001 2.010 2.100

Таким чином, f(x) можна зробити як завгодно близьким до границі 2, просто зробивши x досить близьким до 1. Тобто

Це також можна обчислити алгебраїчно як для всіх дійсних чисел x ≠ 1.

Оскільки x + 1 визначене при , то можна підставити 1 замість x, що приведе до рівності

На додаток до границь зі скінченними значеннями, функції також можуть мати границі в нескінченності. Наприклад, розглянемо функцію

,

для якої

  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Коли x стає надзвичайно великим, значення f(x) наближається до 2, а значення f(x) можна наблизити до 2, зробивши x достатньо великим. Отже, у цьому випадку границя f(x) при x, що прямує до плюс нескінченності, дорівнює 2, або в математичному записі

Обчислюваність границі[ред. | ред. код]

Границю іноді може бути важко обчислити. Існують граничні вирази, модуль збіжності[en] яких нерозв’язний. У теорії обчислюваності гранична лема[en] показує, що нерозв’язні задачі можна кодувати, використовуючи границі.[1]

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.