Границя (топологія)

Границя множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею.

Означення

Нехай є топологічний простір $(X,\mathcal{T})$ і підмножина $A\subset X$. Точка $x_0\in X$ називається грани́чною точкою підмножини $A$, якщо для будь-якого її околу $U\in \mathcal{T}, U\ni x_0$ справедливо:

$U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.$

множина всіх граничних точок множини $A$ називається границею і позначається $\partial A.$

Еквівалентні означення. Границя множини $A$ це -

• та частина замикання $A$, що не входить в її внутрішність: $\partial x = \bar{A} / A^0$
• перетин замикання $A$ та її доповнення $X/A$: $\partial x = \bar{A} \cap \bar{A/X}$

Посилання

• J. R. Munkres (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• S. Willard (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.