Гранична точка множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гранична точка множини або точка згущення множини - це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок данної множини.

[ред.] Визначення

Нехай дано топологічний простір , де X — довільна множина, а — означено на X топологія. Нехай також задано підмножину . Точка називається граничною точкою множини A, якщо для будь-якої відкритої множини , такого що виконується

.

У випадку якщо , точка x₀ називається граничною точкою множини A, якщо

Для послідовності точок {x_n} в топологічному просторі граниною точкою x буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок _n послідовності.

[ред.] Зв'язані поняття

• Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається A'.
• Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається або [A].

[ред.] Властивості

• У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність , що цілком лежить в A і така, що при .
  • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
• Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана йому належати.
• Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
• Границя послідовності точок в топологічному просторі завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір задовільняє першу аксіому зліченності.