Гранична точка множини

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини - це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

Визначення

Нехай дано топологічний простір $(X,\mathcal{T})$, де $X$ — довільна множина, а $\mathcal{T}$ — означено на $X$ топологія. Нехай також задано підмножину $A \subset X$. Точка $x \in X$ називається граничною точкою множини $A$, якщо для будь-якої відкритої множини $U \in \mathcal{T}$, такого що $x \in U$ виконується

$(U \setminus x) \cap A \not= \emptyset$.

У випадку якщо $A \subset \mathbb{R}$, точка $x_0$ називається граничною точкою множини A, якщо $\forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A \setminus \{x_0\} : |x-x_0| < \varepsilon$

Для послідовності точок $\{x_n\}$ в топологічному просторі граниною точкою $x$ буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок $_n$ послідовності.

Зв'язані поняття

• Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається $A'$.
• Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається $\bar{A}$ або $[A]$.

Властивості

• У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset A$, що цілком лежить в A і така, що $x_n \to x$ при $n \to \infty$.
  • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
• Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана йому належати.
• Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
• Границя послідовності точок в топологічному просторі $(X,\mathcal{T})$ завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір $(X,\mathcal{T})$ задовільняє першу аксіому зліченності.