Греки (фінанси)

У фінансовій математиці, греки — це величини, що відображають чутливість ціни похідних цінних паперів, таких як опціони до зміни основних параметрів контракту, від яких залежить вартість інструменту або портфеля фінансових інструментів. Ім'я використовується тому, що найпоширеніші з цих величин позначаються грецькими буквами (як і деякі інші фінансові показники). Всіх разом ці величини також називають чутливості ризику, міри ризику^:742 або параметри хеджування.

Використання

Греки є життєво важливими інструментами в управлінні ризиками. Кожен грек показує чутливість вартості портфеля до невеликої зміни даного базового параметра, таким чином компоненти ризику можна розглянути окремо, і збалансувати портфель для досягнення відповідного бажаного рівня ризику; наприклад, дельта-хеджування.

$\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}$ $\nu ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$ $\Theta =-{\frac {\partial V}{\partial \tau }}$ $\rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}$ $\Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$

Найбільш поширеним з греків є похідні першого порядку: Дельта, Веґа, Тета і Ро, а також Ґамма, похідна другого порядку функції вартості.

Дельта (Δ) вимірює швидкість зміни вартості теоретичного опціону (чи іншого деривативу) при зміні ціни базового активу. Дельта є першою похідною вартості опціону $V$ за ціною базового інструменту $S$. Для опціону, дельта знаходиться в діапазоні (0; 1) для позицій long call та short put і знаходиться в діапазоні (-1; 0) для позицій short call та long put.

Веґа ($\nu$) вимірює чутливість вартості опціону до волатильності базового активу. Веґа є першою похідною від вартості опціону за волатильністю базового активу $\sigma$. Ця чутливість позначається грецькою літерою $\nu$ (ню), але загальноприйнятою є назва „веґа“ (немає грецької літери з назвою веґа). Веґа майже завжди додатня для операцій long (купівля опціону) і від'ємна для операцій put (продаж опціону).

Тета ($\Theta$) вимірює чутливість вартості опціону до плину часу. Знак мінус у формулі пояснюється тим, що з плином часу $t$ час $\tau$, що залишається до моменту виконання опціону $T$ зменшується. Математичний результат формули для тета виражається у чутливості на рік. Зазвичай результат ділять на кількість днів у році, щоб отримати чутливість за один день. Тета майже завжди від'ємна для операцій long (купівля опціону) і додатня для операцій put (продаж опціону).

Ро ($\rho$) вимірює чутливість вартості опціону до процентної ставки, Ро є першою похідною за безризиковою процентною ставкою. За винятком екстремальних умов, вартість опціону є менш чутливою до змін в безризиковій процентній ставці, ніж до змін інших параметрів. Тому, Ро є найменш вживаним з греків першого порядку.

Ґамма ($\Gamma$) вимірює швидкість зміни Дельти при зміні ціни базового активу. Гамма є другою похідною вартості опціону за ціною базового активу.

Формули греків для європейських опціонів

Для заданих параметрів: Зацінка акції $S\,$, Ціна виконання $K\,$, безризикова ставка, $r\,$, Річна дивідендна прибутковість$q\,$, Час зрілості $\tau =T-t\,$, і волатильність $\sigma \,$...

	Опціон покупця	Опціон продавця
вартість	$Se^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-r\tau }K\Phi (d_{2})\,$	$e^{-r\tau }K\Phi (-d_{2})-Se^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,$
delta	$e^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,$
vega	$Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\phi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,$
theta	$-e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})\,$	$-e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})\,$
rho	$K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,$	$-K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,$
gamma	$e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$
vanna	$-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\nu }{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,$
charm	$qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$	$-qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$
speed	$-e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)=-{\frac {\Gamma }{S}}\left({\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}+1\right)\,$
zomma	$e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})\left(d_{1}d_{2}-1\right)}{S\sigma ^{2}{\sqrt {\tau }}}}=\Gamma \cdot \left({\frac {d_{1}d_{2}-1}{\sigma }}\right)\,$
color	$-e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]\,$
veta	$Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}\left[q+{\frac {\left(r-q\right)d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}-{\frac {1+d_{1}d_{2}}{2\tau }}\right]\,$
vomma	$Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}=\nu {\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,$
Ultima	${\frac {-\nu }{\sigma ^{2}}}\left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right]$
dual delta	$-e^{-r\tau }\Phi (d_{2})\,$	$e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})\,$
dual gamma	$e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,$

де

$d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r-q+\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-q-\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}$

$\phi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy$

Ланки

Покрокове виведення опціонних греків

• Derivation of European Vanilla Call Price [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Delta [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Gamma [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Speed [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Vega [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Volga [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Vanna as Derivative of Vega with respect to underlying [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Vanna as Derivative of Delta with respect to volatility [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Theta [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Call Rho [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Price [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Delta [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Gamma [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Speed [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Vega [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Volga [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Vanna as Derivative of Vega with respect to underlying [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Vanna as Derivative of Delta with respect to volatility [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Theta [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]
• Derivation of European Vanilla Put Rho [Архівовано 13 квітня 2015 у Wayback Machine.]