Група Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Групою Лі над полем K (K=\R або \C) називається група \ G, зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над K, причому відображення \operatorname{mul} та \operatorname{inv} визначені :

\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy,
\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}

є гладкими (у разі поля \mathbb C вимагають голоморфності введених відображень).

Довільна комплексна n-мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності 2n. Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення \operatorname{mul} і \operatorname{inv} записуються аналітичними функціями.

Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.

Типи груп Лі[ред.ред. код]

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності) , а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Підгрупи Лі[ред.ред. код]

Підгрупа H групи Лі G називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді G. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду (e^{ix}, e^{i\pi x}) у торі \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\} не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць 2\times 2.

Нехай H — підгрупа Лі групи Лі G. Множину G/H суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проекція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо H - нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Гомоморфізми і ізоморфізми[ред.ред. код]

Нехай G і H — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення f\colon G\to H, що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності f.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії \operatorname{Lie}_\R і \operatorname{Lie}_\C. Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі SO(2) поворотів площини з операцією композиції і група Лі U(1) комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі G над полем K у групу GL(V) невироджених лінійних перетворень векторного простору V над полем K називається представленням групи G у просторі V.

Дії груп Лі[ред.ред. код]

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: GDiff M, де Diff M - група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення ag многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ ag(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

lg(h) = gh,
rg(h) = hg,
ag(h) = ghg−1.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі NG:

g (hN) = (gh)N

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x - стабілізатор довільної точки.

Алгебра Лі[ред.ред. код]

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

V(lg* f)= lg* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f.

Еквівалентно

dlg (Vx) = Vgx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням Ve в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі Ge до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому Ge є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою.

Приклади[ред.ред. код]

Дійсні групи Лі[ред.ред. код]

Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність
\R^n Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність \R^n n
\R^* Ненульові дійсні числа з операцією множення Комутативність; незв'язність, некомпактність \R 1
\R^*_+ Додатні дійсні числа з операцією множення Комутативність; однозв'язність, некомпактність \R 1
S^1=\R/\Z Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність \R 1
GL(n,\R) Загальна лінійна група : дійсні оборотні матриці розмірності n×n незв'язність, некомпактність \mathcal M_n(\R) n²
GL^{+}(n,\R) Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником Однозв'язність, некомпактність \mathcal M_n(\R) n²
SL(n,\R) Спеціальна лінійна група : Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозвязність, некомпактність для n > 1 sl(n,\R) n²-1
O(n,\R) Ортогональна група : Ортогональні дійсні матриці Незв'язність, компактність so(n,\R) n(n - 1)/2

Комплексні групи Лі[ред.ред. код]

Розмірність подано в \C.

Група Лі Опис Властивості Алгебра Лі Розмірність
\C^n Евклідовий простір з операцією додавання Комутативність; однозв'язність, некомпактність \C^n n
\C^* Ненульові комплексні числа з операцією множення Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність \C 1
GL(n,\C) Загальна лінійна група : дійсні оборотні матриці розмірності n×n Однозвязність, некомпактність; \mathcal M_n(\C) n²
SL(n,\C) Спеціальна лінійна група : комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, некомпактність для n≥2 sl(n,\C) (n²-1)
O(n,\C) Ортогональна Група : Ортогональні комплексні матриці Незв'язність, некомпактність для n≥2 so(n,\C) n(n-1)
SO(n,\C) Спеціальна ортогональна група : комплексні ортогональні матриці з визначником 1 Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2 so(n,\C) n(n-1)
U\left(n\right) Унітарна група : унітарні комплексні матриці розмірності n×n Неоднозв'язність, компакність; u\left(n\right) n²
SU\left(n\right) Спеціальна унітарна група : унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1 Однозв'язність, компактність su\left(n\right) n²-1

Література[ред.ред. код]

  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К.: Наукова думка, 1992. — 368 с.
  • Ли С. Теория групп преобразований. — Ижевск: РХД, 2011-2012. — 712+640 с.
  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
  • Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
  • Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
  • Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
  • Helgason Sigurdur (1978), "Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces", Academic Press,
  • Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
  • P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations