Група Лі

Групою Лі над полем $K$ ($K=\R$ або $\C$) називається група $\ G$, зі структурою диференційовного (гладкого) многовиду над $K$, причому відображення $\operatorname{mul}$ та $\operatorname{inv}$ визначені :

$\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy$,

$\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}$

є гладкими (у разі поля $\mathbb C$ вимагають голоморфності введених відображень).

Довільна комплексна $n$-мірна група Лі є дійсною групою Лі розмірності $2n$. Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний атлас, в якому відображення $\operatorname{mul}$ і $\operatorname{inv}$ записуються аналітичними функціями.

Групи Лі названі на честь Софуса Лі. Вони природно виникають при розгляді неперервних симетрій. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в диференціальний геометрії. Вони також відіграють помітну роль у геометрії, фізиці і математичному аналізі.

Типи груп Лі

Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями (простоти, напівпростоти, розв'язності, нільпотентності, комутативності) , а також за топологічними властивостями (зв'язності, однозв'язності і компактності).

Підгрупи Лі

Підгрупа $H$ групи Лі $G$ називається її підгрупою Лі, якщо вона є підмноговидом в многовиді $G$. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду $(e^{ix}, e^{i\pi x})$ у торі $\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}$ не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, унітарні матриці в групі оборотних комплексних матриць $2\times 2$.

Нехай $H$ — підгрупа Лі групи Лі $G$. Множину $G/H$ суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проекція була диференційовним відображенням. При цьому одержується локально тривіальне розшарування, і якщо $H$ - нормальна підгрупа, то факторгрупа буде групою Лі.

Гомоморфізми і ізоморфізми

Нехай $G$ і $H$ — групи Лі над одним і тим же полем. Гомоморфізмом груп Лі називається відображення $f\colon G\to H$, що є гомоморфізмом груп і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності $f$.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії $\operatorname{Lie}_\R$ і $\operatorname{Lie}_\C$. Гомоморфізм груп Лі називається ізоморфізмом, якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в абстрактній алгебрі, називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі $SO(2)$ поворотів площини з операцією композиції і група Лі $U(1)$ комплексних чисел, рівних за модулем одиниці, з операцією множення, є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі $G$ над полем $K$ у групу $GL(V)$ невироджених лінійних перетворень векторного простору $V$ над полем $K$ називається представленням групи $G$ у просторі $V$.

Дії груп Лі

Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення дій груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі G діє на гладкому многовиді M, якщо заданий гомоморфізм груп a: G → Diff M, де Diff M - група дифеоморфізмів M. Таким чином, кожному елементу g групи G повинне відповідати дифеоморфне перетворення a_g многовиду M, причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ a_g(m) точки m при дифеоморфізмі, що визначається елементом g, позначається просто gm.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються l, r і a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі G на множині класів суміжності цієї групи Лі по деякій підгрупі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N

Дія групи Лі G на диференційовному многовиді M, називається транзитивною, якщо будь-яку точку M можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу G. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається однорідним простором цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи G дифеоморфний G / st x, де st x - стабілізатор довільної точки.

Алгебра Лі

З довільною групою Лі можна пов'язати деяку алгебру Лі, яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

Векторне поле на групі Лі G називається лівоінваріантним, якщо воно комутує з лівим множенням, тобто

V(l_g^* f)= l_g^* (Vf) для всіх g з G, і будь-якої диференційовної функції f.

Еквівалентно

dl_g (V_x) = V_gx для всіх x, y з G.

Очевидно, будь-яке лівоінваріантне векторне поле V на групі Лі повністю визначається своїм значенням V_e в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор V в дотичному просторі G_e до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

Дужка Лі [X,Y] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому G_e є алгеброю Лі. Ця алгебра називається алгеброю Лі групи G. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою.

Приклади

Дійсні групи Лі

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
$\R^n$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	$\R^n$	n
$\R^*$	Ненульові дійсні числа з операцією множення	Комутативність; незв'язність, некомпактність	$\R$	1
$\R^*_+$	Додатні дійсні числа з операцією множення	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	$\R$	1
$S^1=\R/\Z$	Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення	Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність	$\R$	1
$GL(n,\R)$	Загальна лінійна група : дійсні оборотні матриці розмірності n×n	незв'язність, некомпактність	$\mathcal M_n(\R)$	n²
$GL^{+}(n,\R)$	Дійсні матриці розмірності n×n з додатним визначником	Однозв'язність, некомпактність	$\mathcal M_n(\R)$	n²
$SL(n,\R)$	Спеціальна лінійна група : Дійсні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозвязність, некомпактність для n > 1	$sl(n,\R)$	n²-1
$O(n,\R)$	Ортогональна група : Ортогональні дійсні матриці	Незв'язність, компактність	$so(n,\R)$	n(n - 1)/2

Комплексні групи Лі

Розмірність подано в $\C$.

Група Лі	Опис	Властивості	Алгебра Лі	Розмірність
$\C^n$	Евклідовий простір з операцією додавання	Комутативність; однозв'язність, некомпактність	$\C^n$	n
$\C^*$	Ненульові комплексні числа з операцією множення	Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність	$\C$	1
$GL(n,\C)$	Загальна лінійна група : дійсні оборотні матриці розмірності n×n	Однозвязність, некомпактність;	$\mathcal M_n(\C)$	n²
$SL(n,\C)$	Спеціальна лінійна група : комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, некомпактність для n≥2	$sl(n,\C)$	(n²-1)
$O(n,\C)$	Ортогональна Група : Ортогональні комплексні матриці	Незв'язність, некомпактність для n≥2	$so(n,\C)$	n(n-1)
$SO(n,\C)$	Спеціальна ортогональна група : комплексні ортогональні матриці з визначником 1	Неоднозв'язність, некомпактність для n≥2	$so(n,\C)$	n(n-1)
$U\left(n\right)$	Унітарна група : унітарні комплексні матриці розмірності n×n	Неоднозв'язність, компакність;	$u\left(n\right)$	n²
$SU\left(n\right)$	Спеціальна унітарна група : унітарні комплексні матриці розмірності n×n з визначником 1	Однозв'язність, компактність	$su\left(n\right)$	n²-1

Література

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К.: Наукова думка, 1992. — 368 с.
• Ли С. Теория групп преобразований. — Ижевск: РХД, 2011-2012. — 712+640 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
• Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. М.: ВИНИТИ. 1988
• Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
• Helgason Sigurdur (1978), "Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces", Academic Press,
• Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
• P. Basarab-Horwath, V. Lahno, R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations