Група Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Група Пуанкаре, Неоднорідна група Лоренца - група, що об'єднує групу Лоренца (однорідну) та трансляцій. Відповідно, для 4-простору-часу група - 10-параметрична:

\ x^{\alpha }{'} = a^{\alpha } + \Lambda_{\beta}^{\alpha }x^{\beta }.

Інваріантом групи є величина (трансляційно інваріантна, на відміну від інваріанта групи Лоренца)

\ c^{2}(t_{1} - t_{2})^{2} - (\mathbf r_{1} - \mathbf r_{2} )^{2} = inv.

Група названа на честь Анрі Пуанкаре.

Генератори та алгебра групи[ред.ред. код]

Перетворення можна записати у матричному вигляді фіктивного 5-вимірного простору-часу:

\ \begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda^{0}_{0} & \Lambda^{0}_{1} & \Lambda^{0}_{2} & \Lambda^{0}_{3} & a^{0} \\ \Lambda^{1}_{0} & \Lambda^{1}_{1} & \Lambda^{1}_{2} & \Lambda^{1}_{3} & a^{1} \\ \Lambda^{2}_{0} & \Lambda^{2}_{1} & \Lambda^{2}_{2} & \Lambda^{2}_{3} & a^{2} \\ \Lambda^{3}_{0} & \Lambda^{3}_{1} & \Lambda^{3}_{2} & \Lambda^{3}_{3} & a^{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}.

Якщо використати операторний формалізм, що пов'язує інфінітезимальні оператори з генераторами виразом \ \hat {\mathbf Y}_{i} = -(\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta}x_{\beta}\partial_{\alpha}, то при використанні генераторів 3-поворотів та лоренцевських бустів утворюється шість наступних операторів:

\ \hat {L}_{x} = -(\hat {\mathbf L}_{x})_{01}x_{1}\partial_{0} - (\hat {\mathbf L}_{x})_{10}x_{0}\partial_{1} = \frac{1}{c}x\partial_{t} + ct\partial_{x}, \quad \hat {L}_{y} = ct\partial_{y} + \frac{1}{c}y\partial_{t}, \quad \hat {L}_{z} = ct \partial_{z} + \frac{1}{c}z\partial_{t},

\ \hat {R}_{x} = y \partial_{z} - z\partial_{y}, \quad \hat {R}_{y} = z\partial_{x} - x\partial_{z}, \quad \hat {R}_{z} = x\partial_{y} - y\partial_{x}.

Далі, оператор інфінітезимального перетворення, що відповідає генератору трансляцій \ x^{\alpha }{'} = x^{\alpha } + a^{\alpha } = f_{\alpha }, має вигляд (множник \ i введений для ермітовості оператора)

\ \hat {P}_{\alpha} = i\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial a^{\beta}}\partial_{\beta} = i\delta_{\alpha \beta }\partial_{\beta} = i\partial_{\alpha}.

Із структури операторів видно, що вони утворюють компоненти антисиметричного 4-тензора

\ \hat {J}_{\alpha \beta } = i(x_{\alpha }\partial_{\beta} - x_{\beta }\partial_{\alpha }) = x_{\alpha }\hat {P}_{\beta } - x_{\beta }\hat {P}_{\alpha } = \begin{pmatrix} 0 & \hat {L}_{x} & \hat {L}_{y} & \hat {L}_{z} \\ -\hat {L}_{x} & 0 & -\hat {R}_{z} & \hat {R}_{y} \\ -\hat {L}_{y} & \hat {R}_{z} & 0 & -\hat {R}_{x} \\ -\hat {L}_{z} & -\hat {R}_{y} & \hat {R}_{x} & 0 \end{pmatrix},

де враховано, що 4-радіус-вектор - контраваріантний, а 4-вектор похідної - коваріантний.

Тепер можна перейти до алгебри групи Пуанкаре. Генераторами алгебри є, таким чином, оператори \ \hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {\mathbf P}. Отже, алгебра Пуанкаре - алгебра виду

\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {P}_{\beta }] = 0, \quad [\hat {P}_{\alpha}, \hat {J}_{\beta \gamma } ] = i(g_{\alpha \beta} \hat {P}_{\gamma} - g_{\alpha \gamma}\hat {P}_{\beta}), \quad [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {J}_{\gamma \delta } ] = i\left( -g_{\alpha \delta }\hat {J}_{\gamma \beta } + g_{\beta \gamma}\hat {J}_{\alpha \delta} + g_{\alpha \gamma}\hat {J}_{\delta \beta } - g_{\beta \delta }\hat {J}_{\alpha \gamma}\right).

Оператори Казиміра групи. Загальні властивості алгебри[ред.ред. код]

Тепер можна знайти оператори Казиміра. Один із них - тривіальний і являється квадратом 4-імпульсу \ \hat {P}^{\alpha}\hat {P}_{\alpha}: дійсно,

\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {P}_{\beta}\hat {P}^{\beta}] = 2[\hat {P}_{\alpha}, \hat {P}_{\beta }]\hat {P}^{\beta} = 0,

\ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {P}_{\gamma }\hat {P}^{\gamma}] = 2 [x_{\alpha }, \hat {P}_{\gamma}]\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\beta } - 2 [x_{\beta }, \hat {P}_{\gamma}]\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\alpha} = -2i (g_{\alpha \gamma}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\beta} - g_{\gamma \beta}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\alpha}) = 0.

Для знаходження іншого можна ввести оператор Паулі-Любанського:

\ \hat {W}^{\alpha} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta }\hat {J}_{\beta \gamma}\hat {P}_{\delta }.

громіздкі викладки дозволяють отримати

\ [\hat {W}_{\beta}, \hat {P}_{\alpha} ] = 0, \quad [\hat {W}_{\mu}, \hat {J}_{\kappa \lambda }] = i\left( \hat {W}_{\lambda}g_{\mu \kappa} - \hat {W}_{\kappa}g_{\mu \lambda}\right), \quad [\hat {W}_{\alpha}, \hat {W}_{\kappa}] =  i \varepsilon_{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}^{\beta}\hat {P}^{\delta},

\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda} = \hat {N}_{\alpha}\hat {N}^{\alpha } - \frac{1}{2}\hat {P}_{\gamma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\alpha \beta }\hat {J}^{\alpha \beta}, \quad [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}] = 0, \quad [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda }] = 0.

У загальному випадку, комутатор будь-якого трансляційно інваріантного 4-оператора та інфінітезимального оператору трансляцій \ \hat {P}_{\alpha} рівен нулю. Нулю також рівен комутатор 4-згортки одноіндексних операторів та \ \hat {J}_{\alpha \beta}, а його комутатор \ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {A}_{\gamma}] із будь-яким 4-вектором \ \hat {A}_{\gamma} завжди буде рівен \ i (g_{\gamma \beta}\hat {A}_{\gamma} - g_{\gamma \alpha}\hat {A}_{\beta }), оскільки \ \hat {J}_{\alpha \beta} визначає операторне представлення генераторів матриці перетворень групи Лоренца (скалярний оператор жє інваріантним по відношенню до перетворення, а 4-оператор перетворюється у відповідності до структури генераторів).

Зв'язок із фізикою. Одночастинкові стани[ред.ред. код]

Орбітальний момент імпульсу та спін[ред.ред. код]

У рамках Спеціальній теорії відносності був отриманий тензор моменту імпульсу,

\ L_{\alpha \beta} = (x_{\alpha }p_{\beta} - x_{\beta }p_{\alpha }) = \begin{pmatrix} 0 & -G_{x} & -G_{y} & -G_{z} \\ G_{x}  & 0 & L_{z} & -L_{y} \\ G_{y} & -L_{z} & 0 & L_{x} \\ G_{z} & L_{y} & -L_{x} & 0 \end{pmatrix},

де

\ \mathbf L = [\mathbf r \times \mathbf p ], \quad \mathbf G = \frac{E}{c}\mathbf r - ct \mathbf p -

вектори моменту імпульсу та центру енергії відповідно. При використанні формалізму квантової механіки \ p_{\alpha} = i\hbar \partial_{\alpha}, і вирази двох тензорів співпадають з точністю до множника \ \hbar.

Можна зробити невеликий відступ щодо моменту імпульсу у квантовій механіці. Із викладок, наведених вище, очевидно, що оператор 3-вектора моменту імпульсу у квантовій механіці має компоненти, що відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань. Це означає, що оператор моменту імпульсу має послідовність \ 2l + 1 власних чисел виду \ l, l - 1, ..., -l. Проте в силу координатного (і звідного) представлення оператору моменту імпульсу власні значення можуть бути лише цілими.

Величина \ j_{1} + j_{2}, що відповідає незвідному представленню генератора обертань \ \hat {\mathbf R}_{3} і характеризує трансформаційні властивості поля по відношенню до групи Лоренца (див. розділ "Класифікація полів..." статті Група Лоренца), може набувати як цілих, так і напівцілих значень. Проте вона також відповідає моменту імпульсу. Отже, вона не пов'язана із обертанням, а являється характеристикою об'єкта типу заряду і, водночас, визначає трансформаційні властивості об'єкта по відношенню до перетворень Лоренца та поворотів. Оператори спіну \ \hat {\mathbf S} та орбітального моменту імпульсу \ \hat {\mathbf L} мають однакову алгебру, оскільки являються представленнями генератору 3-обертів.

Оператор Паулі-Любанського із введенням квантового спіну характеризує спін частинки: повний момент імпульсу можна представити як \ \hat {J}_{\alpha \beta} = \hat {L}_{\alpha \beta} + \hat {S}_{\alpha \beta}, де \ \hat {S}_{\alpha \beta} являється оператором спіну, а \ \hat {L}_{\alpha \beta} - оператором орбітального моменту \ x_{\alpha }\hat {P}_{\beta } - x_{\beta}\hat {P}_{\alpha }.

Власні числа операторів Казиміра групи та їх зв'язок із фізичним станом частинки[ред.ред. код]

Оператори Казиміра (точніше, їх власні числа) групи характеризують її незвідні представлення. Власні числа операторів Казиміра групи Пуанкаре характеризують масу та спін частинки. Дійсно, відповідно до фізичного змісту оператору 4-імпульсу та релятивістського зв'язку маси та енергії-імпульсу, при дії на довільну функцію-стан системи

\ \hat {P}_{\alpha}\hat {P}^{\alpha}\psi = m^{2}\psi,

де \ m^{2} - квадрат маси частинки.

Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (для просторових компонент \ \hat {P}_{i}\psi_{\mathbf p = 0} = 0 , і при діагональному вигляді операторів імпульсу \ \hat {P}_{\mu} = (m, 0, 0, 0)), при дії на функцію стану дає

\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p = 0} = \left(\hat {S}_{\alpha \beta}\hat {P}^{\beta}\hat {S}^{\alpha \gamma}\hat {P}_{\gamma} - \frac{1}{2}\hat {P}_{\delta}\hat {P}^{\delta}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right)\psi = \left(\hat {S}_{\alpha 0}\hat {P}^{0}\hat {S}^{\alpha 0}\hat {P}_{0} - \frac{1}{2}\hat {P}_{0}\hat {P}^{0}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right) \psi_{\mathbf p = 0} = m^{2}\left( - \hat {\mathbf G}^{2} - \frac{1}{2}2 \left( \hat {\mathbf S}^{2} - \hat {\mathbf G}^{2}\right)\right) \psi_{\mathbf p = 0} =

\ = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p  = 0 } ,

де \ s - спінове квантове число.

В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто \ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p } = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p }. Отже, в силу характеристики незвідного представлення групи операторами Казиміра можна стверджувати, що незвідні представлення групи Пуанкаре описують частинку. Для подальших пояснень можна розглянути представлення у залежності від маси \ m.

Класифікація Вігнера представлень групи[ред.ред. код]

1. \ m^{2} > 0. Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси \ m^{2} та спіну \ m^{2}s(s + 1). Стани представлення відрізняються значенням проекції спіну на задану (найчастіше обирають z) вісь, \ s, s - 1, ..., -s (таким чином, є \ 2s + 1 спінових ступенів вільності), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора \ \hat {P}_{\mu}. Отже, представлення відповідають частинці маси \ m, спіну \ s, імпульсу \ p_{i} та проекції спіну на напрямок руху \ s_{3}.

2. \ m^{2} = 0. Власні значення обох операторів Казиміра обертаються в нуль. Тому кожен із відповідних векторів є світоподібним. Окрім того, \ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu} = 0. Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: \ \hat {W}_{\mu} = \lambda \hat {P}_{\mu}. Дійсно, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожньо задовільняється:\ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu}\psi = \lambda \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = 0. Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом \ \lambda. Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю.

3. \ \hat {P}_{\mu}\hat {P}^{\mu} рівен нулю, проте спін приймає неперервні значення. Довжина вектора Паулі-Любанського \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu} приймає від'ємні значення. Такий тип представлення описує частинку із нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном.

Дивіться також[ред.ред. код]