Група кватерніона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Граф циклів Q8. Кожен колір це послідовність степенів деякого елемента, зв'язана з (1). Для прикладу, червоний цикл показує, що i 2 = −1, i 3 = −i  та i 4 = 1. А також (−i )2 = −1, (−i )3 = i  та (−i )4 = 1.

В теорії груп, група кватерніона є неабелевою групою порядку 8, ізоморфною множині восьми визначеним кватерніонам з операцією множення. Позначається Q8 і представляєтья заданням групи

Q = \langle -1,i,j,k \mid \;\; (-1)^2 = 1, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \rangle,

де 1 (нейтральний елемент) та −1 комутують зі всіма елементами групи.

Множення елементів {±i, ±j, ±k} подібне до векторного добутку ортів в тривимірному евклідовому просторі.

\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j. 
\end{alignat}

Властивості[ред.ред. код]

\langle x,y \mid x^2 = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.\,\!

Матричне представлення[ред.ред. код]

Група кватерніона може бути представлена як підгрупа загальної лінійної групи:

\ Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \to \mathrm{GL}_{2}(\C)

де

1 \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}
i \mapsto \begin{pmatrix}
  \sqrt{-1} & 0 \\
  0         & -\sqrt{-1}
\end{pmatrix}
j \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0         & \sqrt{-1} \\
  \sqrt{-1} & 0
\end{pmatrix}

Всі матриці мають одиничний детермінант, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну група SL2(C).

Також важливим є представлення Q8 в 8 елементів 2-векторного простору над скінченним полем F3:

\ Q = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} \to \mathrm{GL}(2,3)

де

1 \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}
i \mapsto \begin{pmatrix}
  1 & 1 \\
  1 & -1
\end{pmatrix}
j \mapsto \begin{pmatrix}
  -1 & 1 \\
   1 & 1
\end{pmatrix}
k \mapsto \begin{pmatrix}
  0 & -1 \\
  1 & 0
\end{pmatrix}

де {−1,0,1} елементами з поля F3. Всі матриці мають одиничний детермінант над F3, тому це представлення Q8 в спеціальну лінійну групу SL(2, 3). Насправді Q8 є нормальною підгрупою SL(2, 3) індексу 3.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]