Група класів ідеалів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Група класів ідеалів — абелева група, що виникає в комутативній алгебрі і алгебраїчній теорії чисел. Вона певною мірою визначає наскільки деяке кільце Дедекінда (чи, більш загально, кільце Круля) близьке до того щоб бути факторіальним. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай A — кільце Дедекінда і K — його поле часток. Група класів ідеалів C_A кільця A визначається як факторгрупа

C_A=J_A/P_A.\,

У визначенні використані позначення

IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\},
Група J_A є вільною абелевою групою, базисом якої є прості ідеали кільця A.
  • P_A — підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду
(a)=A\cdot a\subset K
для a\in K.

Також групу класів можна визначити за допомогою відношення еквівалентності: ідеали \ I та \ J дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких  \alpha, \beta \in A виконується \ \alpha I=\beta J.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кільця \Z, \Z[\omega], \Z[i], де ω — кубічний корінь з 1, i — квадратний корінь з −1, є факторіальним і тому їх групи класів ідеалів є тривіальними.
  • Для кільця A = \Z [\sqrt {-5}] група класів ідеалів має два елементи.

Властивості[ред.ред. код]

  • Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце A — факторіальне.
  • Якщо K — алгебраїчне числове поле, A — його кільце цілих чисел, то відповідна група класів ідеалів є скінченною.
  • Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.

Посилання[ред.ред. код]