Групи Томпсона

У математиці під групами Томпсона (також відомі як Томпсонові групи або хамелеонові групи) маються на увазі три групи, зазвичай позначаються як F ⊂ T ⊂ V, які були впроваджені Ричардом Томпсоном в своїх неопублікованих рукописних замітках 1965 року. З цих трьох найбільш відомою та вивченою є F , яку часом називають безпосердньо групою Томпсона або Томпсоновою групою.

Томпсонові групи, зокрема F, відомі своїми незвичними властивостями, що зробило їх контрприкладами до багатьох загальних гіпотез у теорії груп. Всі три групи є нескінченними, та скінченно представленими. Групи T і V, є прикладами нескінченних, але скінченнопредставлених простих груп. Група F не є простою, проте її комутатор [F, F] такою є, і фактор F за цією підгрупою є вільною абелевою групою рангу 2. F є лінійно впорядкованою, має експоненційне зростання, і не містить підгрупи, ізоморфної ​​вільній групі рангу 2. Відомо, що група F не є елементарно аменабельною. Якби F не була аменабельною, то це був би ще один контрприклад до спростованої гіпотези фон Ноймана для скінченнопредставлених груп, яка припускала, що скінченнопредставлена група є аменабельною тоді й тільки тоді, коли не містить вільної групи рангу 2.

Higman (1974) впровадив нескінченну родину скінченнопредставлених простих груп, де Томпсонова група V є лише окремим випадком.

Задання

$F(p)$ є природнім узагальненням $F$ і зберігає чимало її властивостей. Для $F=F(2)$ існує скінченне задання:

$F = F(2) = \langle A,B \mid\ [AB^{-1},A^{-1}BA] = [AB^{-1},A^{-2}BA^{2}] = \mathrm{id} \rangle$

де $\left[x,y\right]$ є комутатором, тобто $x y x^{-1} y^{-1}$.

Узагальнивши для $F(p)$, матимемо $p$ твірних $x_0, x_1, x_2, \dots\ , x_{p-1}$ і $p(p-1)$ визначальних співвідношень.

$F(p)$ можемо також задати як:

$F(p) = \langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+p-1}\ \mathrm{, }\ k<n \rangle.$

При $F=F(2)$ очевидно матимемо:

$F = F(2) = \langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+1}\ \mathrm{, }\ k<n \rangle.$

Нескінченне задання $F(2)$ пов'язане зі скінченним як $x_0=A, x_n= A^{1-n}BA^{n-1}$ для $n>0$. Аби визначити метрику слів (або ж довжину елемента) користатимемось саме скінченним представленням.

Нормальна форма

Зі співвідношення $x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+p-1}$ можемо отримати, що довільний елемент $F(p)$ подається в нормальній формі (НФ):

$x_{k_1}^{r_1} x_{k_2}^{r_2} \dots x_{k_i}^{r_i}x_{n_j}^{-s_j} \dots x_{n_2}^{-s_2} x_{n_1}^{-s_1}$ , де $\ k_1 < k_2 < \dots < k_n \ne n_j > \dots > n_2 > n_1$

Покажімо коректність для $F(2)$. Перетворивши визначальне співвідношення, маємо

(1) $x_n x_k = x_k x_{n+1}$ та

(2) $x_k^{-1} x_n = x_{n+1}x_k^{-1}$

(1) гарантує, що ми завжди можемо впорядкувати $x_k$-ті за зростанням чи спаданням індексу (залежно від того, в якій частині розкладу ми знаходимось). (2) забезпечує обмінювання додатнього елемента і від'ємного, тим самим відсортовуючи всі додатні елементи в лівій частині, а від'ємні — в правій частині НФ.

Таке представлення буде єдиним, якщо накладемо додаткову вимогу:

щойно в розкладі елемента трапляються і $x_i$, і $x_i^{-1}$, то має бути $x_{i+1}$ або $x_{i+1}^{-1}$

Оскільки інакше, завдяки (2) ми виконуватимемо обміннювання елементів $x_i$ і $x_i^{-1}$ з сусідніми, наближаючи їх один до одного доти, доки вони не стоятимуть поруч, і ми зможемо скоротити.

Зсуви

Група F(p) дає змогу визначити зсув $\phi$, який переводить $x_{i}$ в $x_{i+1}$. Такий зсув задовільняє умові $x_0^{-1} \phi (x) x_0 = \phi^p (x)$ для всіх $x \in F(p)$.

Інші задання

Томпсонова група F породжується подібними операціями над двійковими деревами. Тут L і T є вузлами, а A, B і R можуть бути замінені більш розгалуженими деревами.

Група F також зображується з погляду операцій на впорядкованих кореневих двійкових деревах, або як група шматковолінійних гомеоморфізмів одиничного відрізка, що зберігають орієнтацію, недиференційовні крапки мають диадичні координати і всі похідні є ступенями двійки.

Група F може також розглядатися як дія на одиничному колі, визначаючись двома кінцевими точками одиничного відрізка, а група T як група автоморфізмів кола, отриманих шляхом додавання гомеоморфізму x→x +1/2 mod 1 до F. У двійкових деревах це відповідає перестановці двох дерев під коренем. Група V отримується з Т додаванням розривного відображення, яке діє незмінним чином на напівінтервалі [0,1/2) та обмінює [1/2,3/4) і [3/4,1). У двійкових деревах це відповідає обміну двох піддерев під правим нащадком кореня (якщо він існує).

Див. також

• Група Гіґмана

Примітки

• Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R. (1996), «Introductory notes on Richard Thompson's groups» (PDF), L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584, http://www.math.binghamton.edu/matt/thompson/cfp.pdf 
• WHAT IS...Thompson's Group? (PDF) // Notices of the American Mathematical Society. — Т. 58. — (September 2011) (8) С. 1112–1113. Переглянуто: December 27, 2011.
• Higman, Graham (1974), Finitely presented infinite simple groups, Notes on Pure Mathematics, 8, Department of Pure Mathematics, Department of Mathematics, I.A.S. Australian National University, Canberra, MR0376874, ISBN 978-0-7081-0300-5, http://books.google.com/books?id=LPvuAAAAMAAJ 
• Metrics and embeddings of generalizations of Thompson's group F. Автори: J. Burillo; S. Cleary; M. I. Stein Journal: Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001)
• Introduction to Thompson's Group F — Daniel Yeow