Групи Томпсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці під групами Томпсона (також відомі як Томпсонові групи або хамелеонові групи) маються на увазі три групи, зазвичай позначаються як FTV, які були впроваджені Ричардом Томпсоном в своїх неопублікованих рукописних замітках 1965 року. З цих трьох найбільш відомою та вивченою є F , яку часом називають безпосердньо групою Томпсона або Томпсоновою групою.

Томпсонові групи, зокрема F, відомі своїми незвичними властивостями, що зробило їх контрприкладами до багатьох загальних гіпотез у теорії груп. Всі три групи є нескінченними, та скінченно представленими. Групи T і V, є прикладами нескінченних, але скінченнопредставлених простих груп. Група F не є простою, проте її комутатор [F, F] такою є, і фактор F за цією підгрупою є вільною абелевою групою рангу 2. F є лінійно впорядкованою, має експоненційне зростання, і не містить підгрупи, ізоморфної ​​вільній групі рангу 2. Відомо, що група F не є елементарно аменабельною. Якби F не була аменабельною, то це був би ще один контрприклад до спростованої гіпотези фон Ноймана для скінченнопредставлених груп, яка припускала, що скінченнопредставлена група є аменабельною тоді й тільки тоді, коли не містить вільної групи рангу 2.

Higman (1974) впровадив нескінченну родину скінченнопредставлених простих груп, де Томпсонова група V є лише окремим випадком.

Задання[ред.ред. код]

F(p) є природнім узагальненням F і зберігає чимало її властивостей. Для F=F(2) існує скінченне задання:

F = F(2) = \langle A,B \mid\ [AB^{-1},A^{-1}BA] = [AB^{-1},A^{-2}BA^{2}] = \mathrm{id} \rangle

де \left[x,y\right] є комутатором, тобто x y x^{-1} y^{-1}.

Узагальнивши для F(p), матимемо p твірних x_0, x_1, x_2, \dots\ , x_{p-1} і p(p-1) визначальних співвідношень.

F(p) можемо також задати як:

F(p) = \langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+p-1}\ \mathrm{, }\ k<n \rangle.

При F=F(2) очевидно матимемо:

F = F(2) = \langle x_0, x_1, x_2, \dots\ \mid\ x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+1}\ \mathrm{, }\ k<n \rangle.

Нескінченне задання F(2) пов'язане зі скінченним як x_0=A, x_n= A^{1-n}BA^{n-1} для n>0. Аби визначити метрику слів (або ж довжину елемента) користатимемось саме скінченним представленням.

Нормальна форма[ред.ред. код]

Зі співвідношення x_k^{-1} x_n x_k = x_{n+p-1} можемо отримати, що довільний елемент F(p) подається в нормальній формі (НФ):

x_{k_1}^{r_1} x_{k_2}^{r_2} \dots x_{k_i}^{r_i}x_{n_j}^{-s_j} \dots x_{n_2}^{-s_2}  x_{n_1}^{-s_1} , де \ k_1 < k_2 < \dots < k_n \ne n_j > \dots > n_2 > n_1

Покажімо коректність для F(2). Перетворивши визначальне співвідношення, маємо

(1) x_n x_k = x_k x_{n+1} та
(2) x_k^{-1} x_n = x_{n+1}x_k^{-1}

(1) гарантує, що ми завжди можемо впорядкувати x_k-ті за зростанням чи спаданням індексу (залежно від того, в якій частині розкладу ми знаходимось). (2) забезпечує обмінювання додатнього елемента і від'ємного, тим самим відсортовуючи всі додатні елементи в лівій частині, а від'ємні — в правій частині НФ.

Таке представлення буде єдиним, якщо накладемо додаткову вимогу:

щойно в розкладі елемента трапляються і x_i, і x_i^{-1}, то має бути x_{i+1} або x_{i+1}^{-1}

Оскільки інакше, завдяки (2) ми виконуватимемо обміннювання елементів x_i і x_i^{-1} з сусідніми, наближаючи їх один до одного доти, доки вони не стоятимуть поруч, і ми зможемо скоротити.

Зсуви[ред.ред. код]

Група F(p) дає змогу визначити зсув \phi, який переводить x_{i} в x_{i+1}. Такий зсув задовільняє умові x_0^{-1} \phi (x) x_0 = \phi^p (x) для всіх x \in F(p).

Інші задання[ред.ред. код]

Томпсонова група F породжується подібними операціями над двійковими деревами. Тут L і T є вузлами, а A, B і R можуть бути замінені більш розгалуженими деревами.

Група F також зображується з погляду операцій на впорядкованих кореневих двійкових деревах, або як група шматковолінійних гомеоморфізмів одиничного відрізка, що зберігають орієнтацію, недиференційовні крапки мають диадичні координати і всі похідні є ступенями двійки.

Група F може також розглядатися як дія на одиничному колі, визначаючись двома кінцевими точками одиничного відрізка, а група T як група автоморфізмів кола, отриманих шляхом додавання гомеоморфізму xx +1/2 mod 1 до F. У двійкових деревах це відповідає перестановці двох дерев під коренем. Група V отримується з Т додаванням розривного відображення, яке діє незмінним чином на напівінтервалі [0,1/2) та обмінює [1/2,3/4) і [3/4,1). У двійкових деревах це відповідає обміну двох піддерев під правим нащадком кореня (якщо він існує).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]