Групоїд (теорія категорій)

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі $G$, має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу $g$ з $G$. Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природньо заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади

• Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.

• Нехай $C$ — довільна категорія, а $D \hookrightarrow C$ — підкатегорія, об'єкти якої совпадают с об'єктами $C$, а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у $C$. Тоді $D$ — групоїд.

• Нехай $X$ — лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд $\Pi_1(X)$ — це 2-категорія, об'єктами якої є усі точки з $X$, а стрілки з $x\in X$ у $y\in X$ відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з $x$ у $y$:

$f\colon [0;1] \to X, ~ f(0) = x,\; f(1)=y$

Дві функції $f$ та $g$ задають один і той же шлях якщо існує $s: [0;1] \to [0;1]$ так, що $f = g \circ s$ або $g = f \circ s$. Композиція стрілок задається композицією шляхів:

$fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}$

2-морфізм з $f$ у $g$ — це гомотопія з $f$ у $g$. Фундаментальний групоїд є категоріфікацією фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки $x \in X$ виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта $x\in \Pi_1(X)$.

• Категорія векторних розшарувань рангу $n$ над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природньо утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття джерба (англ.) (котрий є частковим випадком стека (англ.)), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами когомологій $H^2(X,\mathcal{G})$, де $\mathcal{G}$ — пучок Груп на $X$. Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп $\mathcal{G}$.

Див. також

• Групоїд (алгебра)