Групоїд (теорія категорій)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі G, має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу g з G. Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природньо заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.
  • Нехай C — довільна категорія, а D \hookrightarrow C — підкатегорія, об'єкти якої совпадают с об'єктами C, а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у C. Тоді D — групоїд.
f\colon [0;1] \to X, ~ f(0) = x,\; f(1)=y
Дві функції f та g задають один і той же шлях якщо існує s: [0;1] \to [0;1] так, що f = g \circ s або g = f \circ s. Композиція стрілок задається композицією шляхів:
fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases}
2-морфізм з f у g — це гомотопія з f у g. Фундаментальний групоїд є категоріфікацією фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки x \in X виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта x\in \Pi_1(X).
  • Категорія векторних розшарувань рангу n над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природньо утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття джерба (англ.) (котрий є частковим випадком стека (англ.)), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами когомологій H^2(X,\mathcal{G}), де \mathcal{G} — пучок Груп на X. Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп \mathcal{G}.

Див. також[ред.ред. код]