Гільбертів простір

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута.

Означення

Гільбертовим простором називається векторний простір $H$над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних $(\cdot,\cdot):H\times H\to \mathbb{R}$(або $\mathbb{C}$, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

1. $(x,x)\geq0$ для кожного $x\in H$
2. $(x,x)=0$ тоді і лише тоді, коли $x=0$
3. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$ для довільних трьох $x,y,z\in H$
4. $(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$, де $x,y\in H$, $\alpha$ - елемент скалярного поля. ($\mathbb R$ або $\mathbb C$)
5. $(x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H$
6. Для довільної послідовності $x_n\in H,\ n=1,2,\ldots,$, для якої виконано

$lim_{l,k\to\infty}(x_l-x_k,x_l-x_k)=0$,

знайдеться елемент $x\in H$, що для нього

$lim_{n\to\infty}(x_n-x,x_n-x)=0$.

Тоді кажуть, що $x$ є границею послідовності $x_n$.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: $(x,y)=(y,x)$.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось $dim H=\infty$, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові беж жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як $\|x\| = \sqrt(x,x)$ (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою $\|x\| = \sqrt(x,x)$.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору $\R^n$ так і ермітового простору $\C^n.$

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення $\ L:H_1 \to H_2$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воне зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів $u,v \in H_1,$ виконується рівність $(L(u),L(v))=(u,v).$ За допомогою тотожності паралелограма,

$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; $x,y\in H$ - довільні) доводиться, що $L$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто $\|L(v)\|=\|v\|$ для будь-якого $v\in H_1.$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади

1. Простір $l^2,$ що складається з сумовних послідовностей комплексних чисел - тобто, послідовностей, для яких

$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad \|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,$

із ермітовим скалярним добутком

$(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}x_n\overline{y_n}$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що $(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,$ тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших $n$ членів послідовностей $\mathbf{x}$ і $\mathbf{y}.$ Отож, отримуємо, що

$|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір $l^2$ — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір $L^2[-\pi,\pi]$ квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку $[-\pi,\pi]$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на $L^2[-\pi,\pi]:$

$(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.$

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі $H$ можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в $H.$

Система векторів $\{u_i: i\in I\}$ гільбертова простора $H,$ що індексується множиною $I,$ називається ортогональною, якщо $(u_i,u_j)=0$ для будь-яких $i\ne j\in I$ і ортонормальною, якщо додатково $(u_i,u_i)=1$ для будь-якого $i\in I.$ Таким чином, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертова простора одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у $H.$ Повна ортонормальна система векторів гільбертова простора $H$ називається ортонормальним базисом у $H.$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче. Координати вектора $w\in H$ відносно данного ортонормального базису — це скаляри $a_i=(u_i,w), i\in I.$ Вектор $w$ повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

$w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису $\{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\},$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір $H$ стає ізоморфним до $l^2.$ Дійсно, розглянемо відображення

$L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},$

яке зіставляє будь-якому вектору $v\in H$ послідовність його координат відносно ортонормального базису $\{u_n:n\in\mathbb{N}\}.$ Тоді $L$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом $l^2.$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля

Припустимо, що $\{u_1,u_2,\ldots\}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі $H.$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів $v \in H:$

$\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),$

де сума розповсюджується на всі елементи данної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує за праву частину, цей факт називається нерівностю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

$2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad$ де $a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1$

— коефіцієнти Фур'є дійсної функції $f(x), -\pi\leq x\leq\pi.$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції $\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\mathbb{Z}\}$ утворюють ортонормальний базис у означенному вище комплексному гільбертовому просторі $L^2[-\pi,\pi].$

Див. також

• Банахів простір
• Теорема Ріса

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
• Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К.: Радянська школа, 1948. — 216 с.
• Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Наука, 1967. — 416 с.
• Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.