Гільбертів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута.

Означення[ред.ред. код]

Гільбертовим простором називається[1][2] векторний простір Hнад полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних  (\cdot,\cdot):H\times H\to \mathbb{R}(або \mathbb{C}, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

  1. (x,x)\geq0 для кожного x\in H
  2. (x,x)=0 тоді і лише тоді, коли x=0
  3. (x+y,z)=(x,z)+(y,z) для довільних трьох x,y,z\in H
  4. (\alpha x,y)=\alpha(x,y), де x,y\in H, \alpha - елемент скалярного поля. (\mathbb R або \mathbb C)
  5. (x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H
  6. Для довільної послідовності x_n\in H,\ n=1,2,\ldots, , для якої виконано
lim_{l,k\to\infty}(x_l-x_k,x_l-x_k)=0,
знайдеться елемент x\in H, що для нього
lim_{n\to\infty}(x_n-x,x_n-x)=0.
Тоді кажуть, що x є границею послідовності x_n.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: (x,y)=(y,x).

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось dim H=\infty, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові беж жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як  \|x\| = \sqrt(x,x) (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою  \|x\| = \sqrt(x,x).

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору \R^n так і ермітового простору \C^n.

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення \ L:H_1 \to H_2 між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воне зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів u,v \in H_1, виконується рівність (L(u),L(v))=(u,v). За допомогою тотожності паралелограма,

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; x,y\in H - довільні) доводиться, що L є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто \|L(v)\|=\|v\| для будь-якого v\in H_1. Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади[ред.ред. код]

1. Простір l^2, що складається з сумовних послідовностей комплексних чисел - тобто, послідовностей, для яких

\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad
\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,

із ермітовим скалярним добутком

(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}x_n\overline{y_n}

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що (\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty, тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших n членів послідовностей \mathbf{x} і \mathbf{y}. Отож, отримуємо, що

|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір l^2 — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір L^2[-\pi,\pi] квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку [-\pi,\pi] утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на L^2[-\pi,\pi]:

(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі[ред.ред. код]

У будь-якому гільбертовому просторі H можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в H.

Система векторів \{u_i: i\in I\} гільбертова простора H, що індексується множиною I, називається ортогональною, якщо (u_i,u_j)=0 для будь-яких i\ne j\in I і ортонормальною, якщо додатково (u_i,u_i)=1 для будь-якого i\in I. Таким чином, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертова простора одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у H. Повна ортонормальна система векторів гільбертова простора H називається ортонормальним базисом у H. Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче. Координати вектора w\in H відносно данного ортонормального базису — це скаляри a_i=(u_i,w), i\in I. Вектор w повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису \{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\}, будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір H стає ізоморфним до l^2. Дійсно, розглянемо відображення

L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},

яке зіставляє будь-якому вектору v\in H послідовність його координат відносно ортонормального базису \{u_n:n\in\mathbb{N}\}. Тоді L — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом l^2. Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля[ред.ред. код]

Припустимо, що \{u_1,u_2,\ldots\} — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі H. Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів v \in H:

\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),

де сума розповсюджується на всі елементи данної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує за праву частину, цей факт називається нерівностю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad де
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1

коефіцієнти Фур'є дійсної функції f(x), -\pi\leq x\leq\pi. За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції \{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\mathbb{Z}\} утворюють ортонормальний базис у означенному вище комплексному гільбертовому просторі L^2[-\pi,\pi].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space
  2. В.М.Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 - с.290

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
  • Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
  • Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К.: Радянська школа, 1948. — 216 с.
  • Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
  • Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Наука, 1967. — 416 с.
  • Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.