Гільбертів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це банахів простір (тобто, повний нормований векторний простір); у якому визначена операція ермітового скалярного добутку $\langle \cdot, \cdot \rangle$ .

Гільбертів простір є узагальненням до нескінченної розмірності як евклідового простору $\R^n$ так і ермітового простору $\C^n.$

Норма в гільбертовому просторі задається через скалярний добуток:

$\|x\| = \sqrt{|\langle x,x\rangle|}.$

В дійсному гільбертовому просторі визначена операція скалярного добутку, тобто бінарна операція $H \times H \to \R$ з властивостями:

білінійність $(ru_1 + su_2, v) = r(u_1, v) + s(u_2, v),\quad (u, rv_1+sv_2)=r(u, v_1) + s(u, v_2), \quad r,s \in \R,$

«симетричність» $\ (u,v)=(v,u),$

«позитивно-означеність» $\ (u,u)>0$ для $u \ne \vec{0}.$

В комплексному гільбертовому просторі визначена операція ермітового скалярного добутку, тобто бінарна операція $H \times H \to \C$ з властивостями:

сесквілінійність $(ru_1+su_2, v)= \bar{r}(u_1,v)+\bar{s}(u_2,v), \quad (u,rv_1+sv_2)=r(u,v_1)+s(u,v_2), \quad r,s \in \C,$

«ермітова-симетричність» $(u,v)=\overline{(v,u)},$

«позитивно-означеність» $\ (u,u)>0$ для $u\ne\vec{0}.$

Прегільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком. Умови повноти простору немає, тому він вже не є банаховим.

Лінійне відображення $\ L:H_1 \to H_2$ між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воне зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів $u,v \in H_1,$ виконується рівність $(L (u), L (v)) = (u, v).$ За допомогою тотожності паралелограму, доводиться, що $L$ є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто $\|L(v)\|=\|v\|$ для будь-якого $v\in H_1.$ Ізометрія між двома гільбертовими просторами, яка бієктивна, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Зміст

1 Зауваження
2 Приклади
3 Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
- 3.1 Рівність Парсеваля
4 Дивись також
5 Література

[ред.] Зауваження

Застережемо, що існують дві протилежні конвенції щодо ермітового скалярного добутку. А саме, він або напівлінійний відносно першого аргументу і лінійний відносно другого, як у наведеному вище означенні (переважно, у квантовій механіці), або, навпаки, напівлінійний відносно другого аргументу і лінійний відносно першого (переважно, у функціональному аналізі).
Деякі автори (переважно, у фізиці) додають до аксіом гільбертова простору нескінченновимірність та сепарабельність. Таким чином, за їх означенням існує лише один клас ізоморфізму гільбертових просторів, див. нижче.

[ред.] Приклади

1. Простір $l 2,$ що складається з квадратично-підсумовних послідовностей комплексних чисел

$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad \|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,$

із ермітовим скалярним добутком

$(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}\overline{x_n}y_n$

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що $(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,$ тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших $n$ членів послідовностей $\mathbf{x}$ і $\mathbf{y}.$ Отож, отримуємо, що

$|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.$

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір $l 2$ — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір $L 2 [ - π,π]$ квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку $[ - π,π]$ утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на $L 2 [ - π,π]:$

$(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\overline{f(x)}g(x)dx.$

[ред.] Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі $H$ можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в $H .$

Система векторів $\{u_i: i\in I\}$ гільбертова простора $H,$ що індексується множиною $I,$ називається ортогональною, якщо $(u i, u j) = 0$ для будь-яких $i\ne j\in I$ і ортонормальною, якщо додатково $(u i, u i) = 1$ для будь-якого $i\in I.$ Таким чином, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертова простора одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у $H .$ Повна ортонормальна система векторів гільбертова простора $H$ називається ортонормальним базисом у $H .$ Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче. Координати вектора $w\in H$ відносно данного ортонормального базису — це скаляри $a_i=(u_i,w), i\in I.$ Вектор $w$ повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

$w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.$

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису $\{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\},$ будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір $H$ стає ізоморфним до $l 2 .$ Дійсно, розглянемо відображення

$L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},$

яке зіставляє будь-якому вектору $v\in H$ послідовність його координат відносно ортонормального базису $\{u_n:n\in\mathbb{N}\}.$ Тоді $L$ — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом $l 2 .$ Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

[ред.] Рівність Парсеваля

Припустимо, що $\{u_1,u_2,\ldots\}$ — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі $H .$ Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів $v \in H:$

$\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),$

де сума розповсюджується на всі елементи данної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує за праву частину, цей факт називається нерівностю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

$2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad$ де $a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1$

— коефіцієнти Фур'є дійсної функції $f(x), -\pi\leq x\leq\pi.$ За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції $\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\mathbb{Z}\}$ утворюють ортонормальний базис у означенному вище комплексному гільбертовому просторі $L 2 [ - π,π].$

[ред.] Дивись також

Банахів простір

[ред.] Література

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
Морен К., Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.

Гільбертів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Зауваження

[ред.] Приклади

[ред.] Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

[ред.] Рівність Парсеваля

[ред.] Дивись також

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами