Гіперболоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Однопорожнинний гіперболоїд
Двопорожнинний гіперболоїд

Гіперболо́їд (грец. від hyperbole — гіпербола, і eidos — подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1  (Однопорожнинний гіперболоїд),

де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;

або

 {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= - 1  (двопорожнинний гіперболоїд),

де a і b — уявні півосі, а c- дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься — гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двополосний — навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней, від яких до двох заданих точок A і B постійний: |AP-BP| = const. У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

Більш, ніж у трьох вимірах[ред.ред. код]

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі записавши Квадратичну форму:


q(x) = \left(x_1^2+\cdots + x_k^2\right)-\left(x_{k+1}^2+\cdots + x_n^2\right), \, \quad k < n .

Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

\lbrace x \ :\ q(x) = c \rbrace

зветься гіперболоїд. У виродженому випадку c = 0.

Кривина та тензор Річчі гіперболоїда[ред.ред. код]

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

\ x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - x_{4}^{2} = R^{2},\quad dl^{2} = -dx_{1}^{2} + dx_{2}^{2} + dx_{3}^{2} + dx_{4}^{2} \qquad (1).

Введенням координат

\ x_{1} = Rch(\psi ), \quad x_{2} = Rcos(\varphi )sh(\psi )sin(\theta ), \quad x_{3} = Rsin(\varphi )sh(\psi )sin (\theta ), x_{4} = Rcos(\theta )sh(\psi )

можна задовольнити \ (1), а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

\ dl^{2} = R^{2}(d\psi^{2} + sh^{2}(\psi )(d\theta^{2} + sin^{2}(\theta )d\varphi^{2})) \qquad (2).

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

\ \Gamma^{k}_{jl} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{jl}),

де метричний тензор \ g_{lj} має вигляд

\ g_{lj} = diag(R^{2}, R^{2}sh^{2}(\psi ), R^{2}sh^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )), \quad g^{lj} = diag(R^{-2}, R^{-2}sh^{-2}(\psi ), R^{-2} sh^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta )) \qquad (3),

для частинних випадків виразів можна отримати

\ \Gamma^{k}_{ll} = \frac{1}{2}g^{km}(2 \partial_{l}g_{ml} - \partial_{m}g_{ll} ) = g^{km}\partial_{l}g_{ml} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} = -\frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{ll} \qquad (4);

\ \Gamma^{k}_{kk} = \frac{1}{2}g^{km}(2\partial_{k}g_{km} - \partial_{m}g_{kk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{kk} = 0 \qquad (5);

оскільки, в силу структури метричних тензорів, \ \partial_{0}g_{00} = \partial_{h}g_{hh} = 0;

\ \Gamma^{k}_{lk} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mk} + \partial_{k}g_{ml} - \partial_{m}g_{lk}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk} \qquad (6);

\ {\Gamma^{k}_{lj}}^{(3)} = \frac{1}{2}g^{km}(\partial_{l}g_{mj} + \partial_{j}g_{ml} - \partial_{m}g_{lj}) = \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{l}g_{kk}\delta_{kj} + \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{j}g_{kk}\delta_{kl} - \frac{1}{2}g^{kk}\partial_{k}g_{jl}\delta_{jl} = \Gamma^{k}_{lk}\delta^{k}_{j} + \Gamma^{k}_{jk}\delta^{k}_{l} + \Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} \qquad (7).

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення,

\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{jl} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jl}\Gamma^{\sigma}_{k \sigma } - \Gamma^{k}_{l \sigma}\Gamma^{\sigma}_{jk} \qquad (8),

та вирази \ (4)-(7),

для тензора можна отримати (сума лише по індексам \ k, \sigma)

\ R_{lj}^{(3)} = \partial_{j}\Gamma^{j}_{lj} + \partial_{l}\Gamma^{l}_{jl} + \partial_{k}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \partial_{l}\Gamma^{k}_{jk} + \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{j}_{lj} + \Gamma^{k}_{lk}\Gamma^{l}_{jl} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{k}_{jk}\Gamma^{k}_{lk} - \Gamma^{l}_{jl}\Gamma^{j}_{lj} - 2\Gamma^{l}_{kj}\Gamma^{k}_{ll}\delta^{l}_{j} - \Gamma^{j}_{ll}\Gamma^{l}_{jj} \qquad (9).

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти \ R_{ij}. Спочатку доведеться отримати, користуючись \ (4)-(7), явний вигляд для символів Кристоффеля:

\ \Gamma^{1}_{11} = \Gamma^{2}_{22} = \Gamma^{3}_{33} = \Gamma^{1}_{23} = \Gamma^{3}_{12} = \Gamma^{1}_{21} = \Gamma^{1}_{31} = \Gamma^{2}_{32} = \Gamma^{2}_{11} = \Gamma^{3}_{11} = 0,

\ \Gamma^{3}_{13} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{1}(g_{33}) = \frac{2sh (\psi )ch(\psi )}{2 sh^{2}(\psi )} = cth(\psi ), \quad \Gamma^{2}_{12} = \Gamma^{3}_{13},

\ \Gamma^{1}_{22} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{22}) = -sh(\psi )ch(\psi ),

\ \Gamma^{3}_{23} = \frac{1}{2}g^{33}\partial_{2}(g_{33}) = ctg(\theta ),

\ \Gamma^{1}_{33} = -\frac{1}{2}g^{11}\partial_{1}(g_{33}) = -sin^{2}(\theta )sh(\psi )ch(\psi ),

\ \Gamma^{2}_{33} = -\frac{1}{2}g^{22}\partial_{2}(g_{33}) = -sin(\theta )cos(\theta ) .

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та \ (9), має вираз

\ R_{11} = -\partial_{1}\Gamma^{k}_{1k} - \Gamma^{k}_{1k}\Gamma^{k}_{1k} = -\partial_{1}(\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{3}_{13}) - (\Gamma^{2}_{12})^{2} - (\Gamma^{3}_{13})^{2} = -2\partial_{1}cth(\psi ) - 2cth^{2}(\psi ) = \frac{2}{sh^{2}(\psi )} - 2cth^{2}(\psi ) = -2.

Компонента 22:

\ R_{22} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{22} - \partial_{2}\Gamma^{k}_{2k} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{22} - (\Gamma^{k}_{2k})^{2} - 2\Gamma^{2}_{2k}\Gamma^{k}_{22} = \partial_{1}\Gamma^{1}_{22} - \partial_{2}\Gamma^{3}_{23} + (\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{\sigma}_{1 \sigma} + \Gamma^{3}_{22}\Gamma^{\sigma}_{3 \sigma}) - (\Gamma^{3}_{23})^{2} - 2(\Gamma^{2}_{12}\Gamma^{1}_{22} + \Gamma^{2}_{32}\Gamma^{3}_{22}) =

\ =-ch(2 \psi )+ \frac{1}{sin^{2}(\theta )} + 2\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{12} - ctg^{2}(\theta ) + 2ch^{2}(\psi ) = -ch(2 \psi )+ 1 -2ch^{2}(\psi )  + 2ch^{2}(\psi ) = -sh^{2}(\psi ).

Компонента 33:

\ R_{33} = \partial_{k}\Gamma^{k}_{33} - \partial_{3}\Gamma^{k}_{3k} + \Gamma^{\sigma}_{k \sigma}\Gamma^{k}_{33} - (\Gamma^{k}_{3k})^{2} - 2\Gamma^{3}_{k3}\Gamma^{3}_{3k} =

\ = (\partial_{1}\Gamma^{1}_{33} + \partial_{2}\Gamma^{2}_{33}) + (\Gamma^{\sigma}_{1 \sigma}\Gamma^{1}_{33} + \Gamma^{\sigma}_{2 \sigma}\Gamma^{2}_{33}) - 2(\Gamma^{3}_{13}\Gamma^{1}_{33} + \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{2}_{33}) =

\ = -sin^{2}(\theta )ch(2 \psi ) - cos(2 \theta ) - 2sin^{2}(\theta )ch^{2}(\psi ) - cos^{2}(\theta ) + 2sin^{2}(\theta )ch^{2}(\psi ) + 2cos^{2}(theta ) = |ch(2 \psi ) = 1 + 2sh^{2}(\psi )| =

\ = -2sin^{2}(\theta )sh^{2}(\psi ) - sin^{2}(\theta ) - cos^{2}(\theta) + sin^{2}(\theta ) +cos^{2}(\theta ) = -2sin^{2}(\theta )sh^{2}(\psi ).

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

\ R_{ij} = 0, i \neq j.

Отже, для гіперболоїда

\ {R_{ij}}_{1} = -\frac{2}{R^{2}}g_{ij} \qquad (10).


Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

\ R_{1} = -\frac{2}{R^{2}}g_{ij}g^{ij} = -\frac{6}{R^{2}}.

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

У мистецтві[ред.ред. код]

В архітектурі[ред.ред. код]

Проект 350-метрової вежи В. Г. Шухова, 1919

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткої: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у ґратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріаломісткість.

Прикладами гіперболоїдних конструкцій є:

У літературі[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]