Гіпергеометрична функція

Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння

$z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - abw = 0.$

Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:

$\,F(a,b;c;z) = \,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(c+n)} \,\frac {z^n} {n!}$

де a,b,c — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, окрім c = 0, −1, −2,..., z — комплексна змінна, $(a)_n=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1),\,(a)_0 = 1. \,$ .

Функція F(a,b;c;z) називається гіпергеометричною функцією першого роду.

Ряд збігається абсолютно і рівномірно при |z|<1; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо $\real(a+b-c)<0$; при $\leq \real(a+b-c) < 1$ збігається в усіх точках одиничного кола, окрім z=l. Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола [z|>l з розрізом $(1, \infty)$. Функція F(a,b;c;z) — однозначна аналітична в комплексній площині z з розрізом $(1, \infty)$. Якщо а або b — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція є многочленом відносно z.

Елементарні співвідношення

Шість функцій $\displaystyle F (a\pm 1,b;c;z)$, $\displaystyle F (a,b\pm 1;c;z)$ і $\displaystyle F (a,b;c\pm 1;z)$

називаються суміжними з гіпергеометричною функцією $F(a,b;c;z)$. Функція $F(a,b;c;z)$ є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:

$\begin{align} z\frac{dF}{dz} = z\frac{ab}{c}F(a+,b+,c+) &=a(F(a+)-F)\\ &=b(F(b+)-F)\\ &=(c-1)(F(c-)-F)\\ &=\frac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}\\ &=\frac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}\\ &=z\frac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}\\ \end{align}$

У рівностях використано позначення $\displaystyle F= F(a,b;c;z), F(a+)=F(a+1,b;c;z)$ і т. д.

Асоційовані функції F(a + m,b + n; c + l;z), де m, n, l — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання

$\frac{d^n}{dz^n}F(a,b;c;z) = \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} F(a + n,b + n; c + n;z).$

Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду

$z^{\rho}(1-z)^{\sigma}F(a',b';c';z').\,$

де $\rho, \sigma, a',b',c'$ — лінійні функції a,b,c, а z і z' зв'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.

Основні інтегральні представлення

Має місце формула Ейлера:

$\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \quad \real(c) > \real(b) > 0,$

при |z| < 1 чи |z| = 1 за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи (1 − zx)^−a у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення .

Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції

При великих значеннях |z| гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки $z = \infty$. Якщо a,b,z - фіксовані числа і |c| достатньо велике $|arg c|< \pi - \epsilon, ~\epsilon>0,\,$ то при |z|<l:

$F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^k \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} + O(|c|^{-k+1})$

При |z|>l є аналогічний вираз.

Представлення функцій через гіпергеометричну функцію

• $\left(1+x\right)^n = F(-n,\beta,\beta;-x)$
• $x^n = F\left(-n,\beta,\beta;1-x\right)$
• ${1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1,2;-x)$
• $e^x = \lim_{n \to \infty} F(1,n,1;{x \over n})$
• $\cos x = \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} F\left(\alpha,\beta,\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 \alpha \beta}\right)$
• $\cosh x = \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} F\left(\alpha,\beta,\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 \alpha \beta}\right)$
• Повний еліптичний інтеграл першого роду:

  $K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = \frac{\pi}{2} F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;k^2\right)$

• Повний еліптичний інтеграл другого роду:

  $E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = \frac{\pi}{2} F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;k^2\right)$

• Многочлени Лежандра:

  $P_n(x)= F(n+1,-n,1;\frac{1-x}{2})$

• Приєднана функція Лежандра:

  $P_{n,\;m}(x) = (1-x^2)^{\frac{m}{2}} { \Gamma(n+m+1) \over 2^m\Gamma(n-m+1)\Gamma(m+1) } F\left(n+m+1,m-n,m+1;\frac{1-x}{2}\right)$

• Функції Бесселя:

  $J_\nu(x)= \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} \left[ \frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} F(\alpha,\beta,\nu+1; -\frac{x^2}{4 \alpha \beta}) \right]$

Література

• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
• Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973