Гіпергеометрична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гіпергеометрична функціяспеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння

z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - abw = 0.

Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:

\,F(a,b;c;z) = \,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} =  \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(c+n)} \,\frac {z^n} {n!}

де a,b,c — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, окрім c = 0, −1, −2,..., z — комплексна змінна, (a)_n=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1),\,(a)_0 = 1. \, .

Функція F(a,b;c;z) називається гіпергеометричною функцією першого роду.

Ряд збігається абсолютно і рівномірно при |z|<1; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо \real(a+b-c)<0; при \leq \real(a+b-c) < 1 збігається в усіх точках одиничного кола, окрім z=l. Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола [z|>l з розрізом (1, \infty). Функція F(a,b;c;z) — однозначна аналітична в комплексній площині z з розрізом (1, \infty). Якщо а або b — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція є многочленом відносно z.

Елементарні співвідношення[ред.ред. код]

Шість функцій \displaystyle F (a\pm 1,b;c;z), \displaystyle F (a,b\pm 1;c;z) і \displaystyle F (a,b;c\pm 1;z)

називаються суміжними з гіпергеометричною функцією F(a,b;c;z). Функція F(a,b;c;z) є лінійною комбінацією будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені Гаусом. Вони одержуються при порівнянні правих частин:

\begin{align} z\frac{dF}{dz} = z\frac{ab}{c}F(a+,b+,c+) &=a(F(a+)-F)\\ &=b(F(b+)-F)\\ &=(c-1)(F(c-)-F)\\ &=\frac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}\\ &=\frac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}\\ &=z\frac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}\\ \end{align}

У рівностях використано позначення \displaystyle F= F(a,b;c;z), F(a+)=F(a+1,b;c;z) і т. д.

Асоційовані функції F(a + m,b + n; c + l;z), де m, n, l — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули диференціювання

\frac{d^n}{dz^n}F(a,b;c;z) = \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} F(a + n,b + n; c + n;z).

Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду

z^{\rho}(1-z)^{\sigma}F(a',b';c';z').\,

де \rho, \sigma, a',b',c'лінійні функції a,b,c, а z і z' зв'язані дробово-лінійним перетворенням. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку.

Основні інтегральні представлення[ред.ред. код]

Має місце формула Ейлера:

\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \quad \real(c) > \real(b) > 0,

при |z| < 1 чи |z| = 1 за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи (1 − zx)−a у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення .

Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції[ред.ред. код]

При великих значеннях |z| гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають аналітичне продовження в околі точки z = \infty. Якщо a,b,z - фіксовані числа і |c| достатньо велике |arg c|<  \pi - \epsilon, ~\epsilon>0,\, то при |z|<l:

F(a,b;c;z) =  \sum_{n=0}^k \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} + O(|c|^{-k+1})

При |z|>l є аналогічний вираз.

Представлення функцій через гіпергеометричну функцію[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973