Гіпероператор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

(~ S, \; +, \;\times, \; \uparrow, \; \uparrow\uparrow, \; \dots , \; \uparrow^{n-2} )

Був запропонований англійським математиком Рубеном Гудштейном.

Визначення[ред.ред. код]

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій H_n: \N \times \N \rightarrow \N з індексом n \in \N визначається рекурсивно:


H_n(a, b) =  
 \begin{cases}
  b + 1 & n = 0 \\
  a & n = 1, b = 0 \\
  0 & n = 2, b = 0 \\
  1 & n \ge 3, b = 0 \\
  H_{n-1}\big(a, \, H_n(a, b-1)\big) &
 \end{cases}

Рекурсивність узагальнює формули:

~ a + b = 1 + (a + (b - 1)
~ a \times b = a + (a \times (b - 1))
~ a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})

Приклади[ред.ред. код]

~H_0(a, b) = b+1 (наступний елемент),
~H_1(a, b) = a+b (додавання),
~H_2(a, b) = a\times b (множення),
~H_3(a, b) = a^b (піднесення до степеня),
~H_4(a, b) = \; ^ba (тетрація)

для n ≥ 3 it може застосовуватись нотація Кнута

~H_3(a, b) = a\uparrow{b},
~H_4(a, b) = a\uparrow\uparrow{b},
~H_5(a, b) = a\uparrow\uparrow\uparrow{b},
...
~H_n(a, b) = a\uparrow^{n-2}b

Позначення[ред.ред. код]

Назва Позначення для ~H_n(a, b)
позначення Кнута ~a \uparrow^{n-2} b
позначення Конвея ~a \rightarrow b \rightarrow (n-2)
позначення Гудштейна ~G(n, a, b)
~\mbox{hyper}(a,n,b)
~ a \otimes^n b
a {\,\begin{array}{|c|}\hline{\!n\!}\\\hline\end{array}\,} b
~ a {}^{(n)} b
~ a {}_{(n)} b
~ a[n]b

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]