Гіпероператор

Гіпероператор — нескінченна послідовність арифметичних операцій, що починається з унарної операції наступний елемент, а далі бінарні операції додавання, множення, піднесення до степеня, тетрація, пентація, …

$(~ S, \; +, \;\times, \; \uparrow, \; \uparrow\uparrow, \; \dots , \; \uparrow^{n-2} )$

Був запропонований англійським математиком Рубеном Гудштейном.

Визначення

Послідовність гіпероперацій — послідовність бінарних операцій $H_n: \N \times \N \rightarrow \N$ з індексом $n \in \N$ визначається рекурсивно:

$H_n(a, b) = \begin{cases} b + 1 & n = 0 \\ a & n = 1, b = 0 \\ 0 & n = 2, b = 0 \\ 1 & n \ge 3, b = 0 \\ H_{n-1}\big(a, \, H_n(a, b-1)\big) & \end{cases}$

Рекурсивність узагальнює формули:

$~ a + b = 1 + (a + (b - 1)$

$~ a \times b = a + (a \times (b - 1))$

$~ a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})$

Приклади

$~H_0(a, b) = b+1$ (наступний елемент),

$~H_1(a, b) = a+b$ (додавання),

$~H_2(a, b) = a\times b$ (множення),

$~H_3(a, b) = a^b$ (піднесення до степеня),

$~H_4(a, b) = \; ^ba$ (тетрація)

для n ≥ 3 it може застосовуватись нотація Кнута

$~H_3(a, b) = a\uparrow{b},$

$~H_4(a, b) = a\uparrow\uparrow{b},$

$~H_5(a, b) = a\uparrow\uparrow\uparrow{b},$

...

$~H_n(a, b) = a\uparrow^{n-2}b$

Позначення

Назва	Позначення для $~H_n(a, b)$
позначення Кнута	$~a \uparrow^{n-2} b$
позначення Конвея	$~a \rightarrow b \rightarrow (n-2)$
позначення Гудштейна	$~G(n, a, b)$
	$~\mbox{hyper}(a,n,b)$
	$~ a \otimes^n b$
	$a {\,\begin{array}{|c|}\hline{\!n\!}\\\hline\end{array}\,} b$
	$~ a {}^{(n)} b$
	$~ a {}_{(n)} b$
	$~ a[n]b$

Див. також

• Функція Акермана

Посилання

• Home of Tetration