Гіперплощина

Гіперплощина — підпростір евклідового або афінного простору корозмірності 1, тобто із розмірністю, на одиницю меншою, ніж об'ємний простір.

Наприклад, для двовимірного простору гіперплощиною є пряма, для тривимірного — площина тощо.

Рівняння гіперплощини

Нехай $\mathbf{n} \in \R^k$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді рівняння гіперплощини, що проходить через точку $\mathbf{X} \in \R^k$, має вигляд

$(\mathbf{n} ; \mathbf{x}) = (\mathbf{n} ; \mathbf{X})$

Тут $(\cdot;\cdot)$ — скалярний добуток в просторі $\R^k$. В частковому випадку рівняння приймає вигляд

$n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k$

Відстань від точки до гіперплощини

Нехай $\mathbf{n} \in \R^k$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді відстань від точки $\mathbf{r} \in \R^k$ до цієї гіперплощини задається формулою

$\rho = \frac{|(\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n})|}{|\mathbf{n}|}$

де $\mathbf{R}$ — довільна точка гіперплощини.