Гіперсфера

Проекція тримірної проекції аппроксимації гіперсфери чотирьохмірного простору

Гіперсфера — це множина точок многовида, рівновіддалених від заданої точки (центра гіперсфери).

Як бачимо, поняття гіперсфера є узагальненням кола і сфери у випадку, коли розглядається геометрія на довільному многовиді, а не лише на площині чи у тривимірному евклідовому просторі.

Рівняння гіперсфери в евклідовому просторі

Розглянемо гіперсферу в N-вимірному евклідовому просторі. В цьому просторі будемо розглядати прямокутну декартову систему координат $\{x^1, x^2, \dots x^N \}$, початок якої збігається з центром гіперсфери. Тоді скалярний квадрат радіус-вектора $\mathbf{r}$ для точки на гіперсфері дорівнює квадрату радіуса $a$ гіперсфери:

$(1)\qquad \mathbf{r}^2 = (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) = a^2$

або, розписуючи скалярний добуток в координатах, одержуємо рівняння гіперсфери:

$(2) \qquad (x^1)^2 + (x^2)^2 + \dots + (x^N)^2 = \sum_{i=1}^N (x^i)^2 = a^2$

Координати на гіперсфері та координатні вектори

Ми можемо із рівняння (2) виразити одну із координат, скажімо $x^N$, через решту $n = N - 1$ координату:

$(3) \qquad x^N = \pm \sqrt{a^2 - \sum_{i=1}^n (x^i)^2}$

Знак плюс (+) в цій формулі відповідає верхній півсфері, а знак мінус — нижній. Розглянемо верхню півсферу. Кожну точку цієї півсфери можна задати набором $n = N - 1$ чисел $\{ x^1, x^2, \dots x^n \}$, які збігаються з декартовими координатами охоплюючого простору:

$(4) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n)$

де

$(6) \qquad u^1 = x^1,\; u^2 = x^2, \; \dots \; u^n = x^n$

Радіус-вектор $\mathbf{r}$ можна записати покомпонентно у вигляді вектор-рядка:

$(7) \qquad \mathbf{r} = \{ u^1, u^2, \dots u^n, z \}$

де функція $z = z(u^1, \dots u^n)$ дається формулою (3) з додатнім знаком:

$(8) \qquad z = \sqrt{a^2 - \sum_{i=1}^n (u^i)^2}$

Ми можемо обчислити координатний вектор $\mathbf{r}_i$, беручи похідну формули (7) по відповідній координаті:

$(9) \qquad \mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i} = \{0, 0, \dots 1, \dots 0, z_i \}$

В фігурних дужках одиниця стоїть на $i$-тому місці, $z_i = {\partial z \over \partial u^i}$, а решта координат дорівнюють нулю.

Коефіцієнти першої та другої квадратичних форм

Із формули (9) легко можна обчислити метричний тензор на гіперсфері:

$(10) \qquad g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j) = \delta_{ij} + z_i z_j$

Далі, за аналогією з колом або звичайною сферою можна здогадатися, що вектор нормалі $\mathbf{n}$ до гіперсфери паралельний радіус-вектору $\mathbf{r}$. Дійсно, розглядаючи похідні рівняння (1) по координатах, маємо:

$(11) \qquad {\partial \over \partial u^i} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) = 2 (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_i) = 0$

Тобто радіус-вектор $\mathbf{r}$ ортогональний базисним координатним векторам $\mathbf{r}_i$, а отже ортогональний поверхні гіперсфери. Якщо ми направимо одиничний вектор нормалі $\mathbf{n}$ всередину сфери, то:

$(12) \qquad \mathbf{r} = - |\mathbf{r}| \mathbf{n}= - a \mathbf{n}, \qquad \mathbf{n} = -{\mathbf{r} \over a}$

Із розкладу вектора другої похідної радіус-вектора на паралельну і перпендикулярну щодо многовида частини:

$(13) \qquad {\partial^2 \mathbf{r} \over \partial u^i \partial u^j} = \mathbf{r}_{ij} = \Gamma^k_{ij} \mathbf{r}_k + \mathbf{n} b_{ij}$

можна одержати коефіцієнти другої квадратичної форми $b_{ij}$ через скалярні добутки:

$(14) \qquad b_{ij} = (\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{ij}) = - {1 \over a} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_{ij})$

Далі, диференціюючи формулу (11) по $u^j$, маємо таку рівність:

$(15) \qquad 0 = {\partial \over \partial u^j} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_i) = (\mathbf{r}_j \cdot \mathbf{r}_i) + (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}_{ij}) = g_{ij} - a b_{ij}$

Отже коефіцієнти другої квадратичної форми пропорційні метричному тензору:

$(16) \qquad b_{ij} = {1 \over a} g_{ij}$

Це сподіваний результат, він означає, що проведені з однієї точки на гіперсфері в різних напрямках геодезичні лінії мають однакову кривину, яка є числом, оберненим до радіуса гіперсфери. Дійсно, нехай ми позначимо через $\boldsymbol{\tau} = {d \mathbf{r} \over d s}$ одиничний дотичний вектор до геодезичної, тоді кривина геодезичної лінії дорівнює:

$(17) \qquad \mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j = \mathbf{n} {1 \over a} g_{ij} \tau^i \tau^j ={\mathbf{n} \over a}$

Тензор Рімана

Маючи формулу (16) для коефіцієнтів другої квадратичної форми, легко знайти, що тензор Рімана $R_{ijkl}$ у випадку гіперсфери пропорційний тензору метричної матрьошки $g_{ij, kl}$:

$(18) \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b_{jl} - b_{il} b_{jk} = {1 \over a^2} \left ( g_{ik} g_{il} - g_{il} g_{jk}\right ) = {1 \over a^2} \, g_{ij, kl}$

Цю ж формулу, хоча і значно складніше, можна одержати тільки із внутрішньої геометрії, користуючись виразом (10) для метричного тензора $g_{ij}$. Спочатку обчислюємо символи Крістофеля першого роду:

$(19) \qquad \Gamma_{ij,k} = {1 \over 2} \left (\partial_i g_{kj} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij} \right) ={1 \over 2} \left ( \partial_i (z_k z_j) + \partial_j (z_i z_k) - \partial_k (z_i z_j)\right ) =$

$\qquad = {1 \over 2} \left ( z_{ik} z_j + z_k z_{ij} + z_{ij} z_k + z_i z_{jk} - z_{ik} z_j - z_i z_{jk} \right ) = z_k z_{ij}$

В цій формулі фігурують перші та другі похідні від фунції багатьох змінних $z = z(u^1, u^2, \dots u^n)$ (формула 8). Обчислимо їх:

$(20) \qquad z_i = {\partial \over \partial u^i} \sqrt{a^2 - \sum (u^k)^2} = - {u^i \over \sqrt{a^2 - \sum (u^k)^2}} = - {u^i \over z}$

$(21) \qquad z_{ij} = \partial_j \left ( - {u^i \over z} \right ) = - {\delta_{ij} \over z} + u^i {z_j \over z^2} = - {\delta_{ij} + z_i z_j \over z} = - {g_{ij} \over z}$

Тензор Рімана можна обчислити за наступною формулою:

$(22) \qquad R^s_{\;ijk} = \partial_j \Gamma^s_{ki} - \partial_k \Gamma^s_{ji} + \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{ki} - \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{ji}$

Щоб скористатися цією формулою, нам потрібні символи Крістофеля другого роду (з одним верхнім індексом). Але перш ніж взятися за обчислення символів Крістофеля другого роду, спробуємо опустити в формулі (22) індекс $s$:

$(23) \qquad R_{lijk} = g_{ls} R^s_{\;ijk} = \left ( \partial_j (g_{ls} \Gamma^s_{ki}) - (\partial_j g_{ls}) \Gamma^s_{ki} \right ) - \left ( \partial_k (g_{ls} \Gamma^s_{ji}) - (\partial_k g_{ls}) \Gamma^s_{ji} \right ) + g_{ls} \Gamma^s_{jp} \Gamma^p_{ki} - g_{ls} \Gamma^s_{kp} \Gamma^p_{ji} =$

$\qquad = \partial_j \Gamma_{ki,l} - \left( \Gamma_{jl, s} + \Gamma_{js,l} \right ) \Gamma^s_{ki} - \partial_k \Gamma_{ji,l} + \left( \Gamma_{kl,s} + \Gamma_{ks,l} \right ) \Gamma^s_{ji} + \Gamma_{jp,l} \Gamma^p_{ki} - \Gamma_{kp,l} \Gamma^p_{ji} =$

$\qquad = \partial_j \Gamma_{ki,l} - \partial_k \Gamma_{ji,l} + \Gamma_{kl,p} \Gamma^p_{ji} - \Gamma_{jl,p} \Gamma^p_{ki}$

або після перейменування індексів:

$(24) \qquad R_{ijkl} = \partial_k \Gamma_{lj,i} - \partial_l \Gamma_{kj,i} + \Gamma_{li, s} \Gamma^s_{kj} - \Gamma_{ki,s} \Gamma^s_{lj}$

В формулі (24) все ще зустрічаються символи Крістофеля другого роду, і нам треба їх обчислити. Але спочатку нам буде потрібен обернений метричний тензор $g^{ij}$. Можна вгадати, що формула для оберненого метричного тензора буде аналогічною формулі (10), але другий доданок взятий з деяким коефіцієнтом $k$:

$(25) \qquad g^{ij} = \delta_{ij} + k z_i z_j$

Цей коефіцієнт легко знаходиться з умови, що матриці (10) і (25) є взаємно оберненими, а тому їхній добуток дорівнює одиничній матриці:

$(26) \qquad \delta_{ij} = \sum_s g_{is} g^{sj} = \sum_s \left ( \delta_{is} + z_i z_s \right) \left ( \delta_{sj} + k z_s z_j \right ) =$

$\qquad = \sum_s \left ( \delta_{is} \delta_{sj} + k \delta_{is} z_s z_j + \delta_{sj} z_i z_s + k z_i z_s z_s z_j \right ) = \delta_{ij} + k z_i z_j + z_i z_j + k q z_i z_j$

де буквою $q$ позначено суму квадратів похідних (20):

$(27) \qquad q = \sum_s z_s^2 = \sum_s \left ( - {u^s \over z} \right )^2 = { a^2 - z^2 \over z^2} = {a^2 \over z^2} - 1$

Порівнюючи крайні вирази в формулі (26), ми бачимо, що сума трьох останніх доданків має дорівнювати нулю, або:

$(28) \qquad 0 = k + 1 + k q = k + 1 + k \left ({a^2 \over z^2} - 1 \right ) = 1 + k {a^2 \over z^2}$

Звідси легко знайти коефіцієнт $k$, і ми можемо підставити його в формулу (25):

$(29) \qquad g^{ij} = \delta_{ij} - {z^2 \over a^2} z_i z_j$

Далі із формул (19) і (29) знаходимо символ Крістофеля другого роду:

$(30) \qquad \Gamma^s_{ij} = g^{sk} \Gamma_{ij,k} = \sum_k \left ( \delta_{sk} - {z^2 \over a^2} z_s z_k \right ) z_k z_{ij} = \left ( 1 - {z^2 \over a^2} q \right ) z_s z_{ij} = {z^2 \over a^2} z_s z_{ij}$

Нарешті, підставляємо (19) і (30) в формулу (24) для тензора Рімана:

$(31) \qquad R_{ijkl} = \partial_k (z_i z_{jl}) - \partial_l (z_i z_{jk}) + \sum_s \left (z_s z_{il} {z^2 \over a^2} z_s z_{jk} - z_s z_{ik} {z^2 \over a^2} z_s z_{jl} \right ) =$

$\qquad = z_{ik} z_{jl} - z_{il} z_{jk} - q {z^2 \over a^2} \left ( z_{ik} z_{jl} -z_{il} z_{jk} \right ) = {z^2 \over a^2} \left ( z_{ik} z_{jl} -z_{il} z_{jk} \right )$

Якщо врахувати формулу (21) для $z_{ij}$, то ми знову одержимо формулу (18).

Кривини Ґаусса, тензори Річчі і тензори Ейнштейна

Оскільки згідно з формулою (17) всі головні кривини гіперсфери однакові:

$(32) \qquad k_1 = k_2 = \dots = k_n = {1 \over a}$

то легко можна обчислити кривину Ґаусса $K^{[m]}$, як симетричний многочлен від головних кривин:

$(33) \qquad K^{[m]} = (-1)^m \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} k_{i_1} k_{i_2} \cdots k_{i_m} = {(-1)^m \over a^m} C^m_n$

де $C^m_n = {n! \over m! (n-m)!}$ — біноміальний коефіцієнт.

Також неважко обчислюється степеневий тензор Річчі, якщо врахувати формулу (16) та формулу самозгортки тензора метричної матрьошки:

$(34) \qquad R^{[m]\, i}_j = {(-1)^m \over (m-1)!} g^{i s_2 \dots s_m}_{p_1 p_2 \dots p_m} b^{p_1}_j b^{p_2}_{s_2} \cdots b^{p_m}_{s_m} = {(-1)^m \over a^m} C^{m-1}_{n-1} \delta^i_j$

Він виявляється пропорційним метричному тензору.

Відповідний тензор Ейнштейна можна знайти, користуючись попередніми двома формулами:

$(35) \qquad G^{[m]\, i}_j = R^{[m]\, i}_j - K^{[m]} \delta^i_j = {(-1)^m \over a^m} \left ( C^{m-1}_{n-1} - C^m_n \right ) \delta^i_j = {(-1)^{m-1} \over a^m} C^m_{n-1} \delta^i_j$

Примітка: Формула (35) виявилася корисною для пошуку симетричного розв'язку рівняння Ейнштейна з космологічним членом. Дійсно, в формулі (35), так само як і в рівнянні Ейнштейна, тензор Ейнштейна пропорційний метричному тензору. Оскільки метрика фізичного простору-часу є псевдоевклідовою (знаконевизначеною) розмірності чотири, то очевидно що розв'язок має бути аналогом гіперсфери в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі - Простір де Сіттера

Об'єм (або площа) гіперсфери

Розглянемо наступний кратний інтеграл Ґаусса в $N$-вимірному евклідовому просторі:

$(36) \qquad I_N = \int e^{- (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_N^2)} d x_1 d x_2 \cdots dx_N$

Цей інтеграл можна обчислювати двома способами.

По-перше, за теоремою Фубіні він розкладається в добуток однакових одновимірних інтегралів Ґаусса:

$(37) \qquad I_N = \int e^{-x_1^2} d x_1 \cdots \int e^{-x_N^2} d x_N = I^N$

Де введено позначення одновимірного інтеграла Ґаусса:

$(38) \qquad I = \int e^{-x^2} d x$

По-друге, сума квадратів координат в формулі (36) дорівнює квадрату відстані від точки початку координат:

$(39) \qquad r^2 = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2$

і ми можемо інтегрувати (36) спочатку по поверхні гіперсфери радіуса $r$, де підінтегральна функція незмінна, а потім уже результат по радіусу від нуля до нескінченності:

$(40) \qquad I_N = \int_0^{\propto}E(r) \, d r$

Інтеграл по гіперсфері легко обчислюється:

$(41) \qquad E(r) = \int_{\mbox{hypersphere}} e^{-r^2} \, d S = e^{-r^2} \int_{\mbox{hypersphere}} dS = e^{-r^2} r^{N-1} \omega_N$

Тут ми винесли постійний множник за знак інтеграла, і врахували, що при перетворенні подібності з коефіцієнтом $r$ площа одиничної гіперсфери $\omega_N$ збільшується в $r^n$ разів, де $n=N-1$ - розмірність цієї площі. Підставляючи (41) в (40), одержуємо одновимірний інтеграл, який підстановкою $r^2 = t$ зводиться до гамма-функції Ейлера $\Gamma(a) = \int_0^{\propto} e^{-t} t^{a-1} d t$ підстановкою $r^2 = t$:

$(42) \qquad I_N = \omega_N \int_0^{\propto} e^{-r^2} r^{N-1} dr = \omega_N \int_0^{\propto} e^{-t} t^{N-1 \over 2} {dt \over 2 \sqrt{t}} = {\omega_N \over 2 } \int_0^{\propto} e^{-t} t^{{N \over 2} -1} d t = {\omega_N \over 2 } \Gamma({N \over 2})$

Порівнюючи цей результат з формулою (37), ми можемо обчислити площу $\omega_N$ гіперсфери одиничного радіуса через інтеграл Ґаусса (38):

$(43) \qquad {\omega_N \over 2 } \Gamma({N \over 2}) = I^N$

$(44) \qquad \omega_N = {2 I^N \over \Gamma({N \over 2})}$

У випадку розмірності два, ми знаємо формулу довжини кола $L = \omega_2 = 2 \pi$, і в цьому випадку можемо обчислити інтегал Ґаусса:

$(45) \qquad 2 \pi = \omega_2 = {2 I^2 \over \Gamma(1)} = 2 I^2$

$(46) \qquad I = \sqrt{\pi}$

Підставляючи (46) в (44) знаходимо остаточну формулу для площі $n$-вимірної гіперсфери одиничного радіуса:

$(47) \qquad \omega_N = {2 \pi^{N \over 2} \over \Gamma({N \over 2})}$

де $N = n+1$ - розмірність евклідового простору, в який вміщена гіперсфера.

Об'єм $N$-вимірної кулі

Для обчислення об'єму кулі радіуса $R$, розібємо кулю концентричними гіперсферами радіуса $r, \; (0 < r \le R)$ і площею $S(r) = \omega_N r^{N - 1}$ на прошарки товщиною $d r$, тоді:

$(48) \qquad V(R) = \int_0^R S(r) \, d r = \omega_N \int_0^R r^{N-1} d r = {\omega_N \over N} R^N$

Див. також

• 3-сфера