Гіпотеза Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Пуанкаре
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Мілса
Рівняння Нав'є-Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза Пуанкаре вважається найбільш відомою задачею топології. Неформально кажучи, вона стверджує, що всякий «тривимірний об'єкт», що володіє деякими властивостями тривимірної сфери (наприклад, кожна петля усередині нього повинна стягуватися), зобов'язаний бути сферою з точністю до деформації.

Гіпотеза сформульована Пуанкаре у 1904 м. Спроби довести гіпотезу Пуанкаре, як успішні, так і невдалі, привели до численних просувань у топології многовидів. Доведення гіпотези Пуанкаре (і більш загальної гіпотези Терстона про геометризацію), опубліковано тільки в 2002 м. Перельманом (Філдсівська медаль 2006 р.)

[ред.] Проблема Пуанкаре і Григорій Перельман

Григорій Перельман довів гіпотезу Пуанкаре, але відмовився від медалі Філдса за це досягнення. Чи одержить він іншу нагороду — мільйон доларів від Інституту Клея? 1904 року видатний французький математик Анрі Пуанкаре сформулював гіпотезу: будь-який тривимірний компактний однозв’язний многовид є гомеоморфним тривимірній сфері. Тим самим цей відомий своєю неуважністю вчений підкинув людству неймовірну головоломку про властивості тривимірних многовидів, включаючи найбільший з тих, що нам відомі, — наш Всесвіт. Над доведенням його гіпотези протягом століття билися найкращі геометри світу. Пуанкаре став засновником топології — розділу математики, що вивчає найбільш загальні властивості геометричних фігур, які не змінюються за будь-яких неперервних перетворень фігур. «Медаль Філдса на нього чекає»... Довести одну з найвидатніших гіпотез математики і тим самим перетворити її на теорему вдалося 40-річному Григорію Перельману з Санкт-Петербурга. На думку спеціалістів, завдяки цьому він став в один ряд із найбільшими геніями минулого і сьогодення. Людство готове було аплодувати переможцю і вручити йому медаль імені канадського ученого Філдса, яка є найпрестижнішою нагородою Міжнародної спілки математиків. Оскільки математика не фігурує в списку Нобелівського комітету, ця нагорода має неофіційний статус, що відповідає однойменній премії. Здобути її можуть учені, котрі не досягли 40 років, оскільки призначають її не лише за минулі заслуги, а й для заохочення нових досягнень. Раз на чотири роки її вручають найдостойнішим на Міжнародному математичному конгресі. У серпні нинішнього року черговий конгрес відбувся в Мадриді. В урочистій обстановці медалі вручав король Іспанії Хуан Карлос. Усього лауреатів було четверо, із них двоє росіян – Григорій Перельман і працюючий у США Андрій Окуньков, а також німець Венделін Вернер (працює у Франції) і працюючий у США австралієць Теренс Тао. Проте Григорій, на відміну від інших лауреатів, не з’явився на церемонію і навіть не відповів на запрошення. Голові IMC Джону Боллу, котрий спеціально приїжджав напередодні конгресу до нього в Петербург, Перельман сказав, що відмовляється приймати Філдсівську медаль, оскільки пішов із математики і перебуває «поза міжнародною математичною спільнотою». Відмова Перельмана від аналога Нобелівської премії шокувала математичну спільноту і стала світовою сенсацією, оскільки за всі 70 років було вручено лише 44 медалі Філдса, і ніхто ніколи від неї не відмовлявся. Чому росіянин не приїхав до Мадрида? Чому відмовився від престижної нагороди? Чому не пояснив науковій спільноті мотиви своєї відмови? Перельману та його вчинку було присвячено чимало статей у різних виданнях світу, у тому числі, у Daily News of ICM-2006 – інформаційному бюлетені Міжнародного математичного конгресу-2006. Тут було опубліковано, зокрема, інтерв’ю з Джоном Боллом на цю тему. — Що було для вас найважчим під час підготовки до церемонії (вручення медалей)? – запитали його журналісти. — Робота над незвичним збігом обставин, які оточують рішення Перельмана не приймати медаль. — Це, безумовно, сенсація. На ваш погляд, чи не буде прикро для математики, якщо він не погодиться? — Для математики – ні. Можливо, хоча і необов’язково, прикро може бути йому. Я сподіваюся, він зрештою знайде можливість продовжувати заняття математикою і відчує себе частиною спільноти. — Як ви гадаєте, може він передумати (полишити заняття математикою)? — Не знаю, але якщо це трапиться, медаль на нього все одно чекає. М’яч, бублик і Всесвіт Перш ніж розповісти про події, що передували цьому казусу з медаллю, кілька слів про саму «винуватицю урочистостей» — гіпотезу Пуанкаре. Зрозуміло, що для неспеціаліста два рядки гіпотези звучать подібно до китайської грамоти. У вкрай спрощеному вигляді задача зводиться до того, що будь-яка тривимірна поверхня, на якій будь-яку замкнену петлю можна «стягти» у точку на цій поверхні, еквівалентна сфері. Так, наприклад, якщо подумки уявити кільце з нитки, що лежить на поверхні м’яча, і почати зменшувати радіус цього кільця за принципом ласо, то точка, у якій стягнеться нитка, все одно залишиться лежати на поверхні м’яча. Але якщо те ж саме зробити з бубликом, то точка зрештою «провалиться» у дірку. А коли обкрутити кільце навколо дужки бублика, то стягти його в точку, не порушуючи цілісності бублика, взагалі не вдасться. У таких випадках кажуть, що поверхня м’яча однозв’язна, а бублика — двозв’язна. До 60-х років ХХ століття топологія стала однією з найпродуктивніших галузей математики, і топологи постійно кидали виклик гіпотезі Пуанкаре. В уявленні багатьох спеціалістів вона стала таким собі святим Граалем — як з огляду на той великий вплив, який ця гіпотеза справляє на математику і космологію, так і тому, що протягом такого тривалого часу розгризти цей горішок до кінця не вдавалося нікому. Навколо гіпотези сформувалася ціла галузь математики. За минулі роки вчені здобували різноманітні нагороди математичної спільноти, зокрема й медалі Філдса, не за остаточне розв’язання, а лише за «значні просування» в цій проблемі. Річ у тім, що многовиди чотирьох, п’яти і більше вимірів набагато легше піддавалися вивченню, аніж ті, що мають усього три розмірності. На 1982 рік гіпотезу було доведено для всіх випадків, окрім тривимірного. (У разі, коли розмірність многовиду більша від трьох, аналоги гіпотези Пуанкаре були доведені в роботах Смейла і Фрідмана.) Як зізнавався на конгресі Джон Морган, глава математичного факультету Колумбійського університету (США), усе його життя проходило під знаком задачі Пуанкаре, але він і гадки не мав, що йому доведеться побачити її повне розв’язання — здавалося, що це не під силу нікому. Найближче підійшов до розв’язання американський математик Річард Гамільтон, який протягом 25 років розробляв так звану теорію потоків Річчі, що лягла в основу доведення Перельмана. Але вийти з глухого кута вдалося Перельману. Ця дорога забрала у нього вісім років. Геть академічні стандарти? Спочатку життя Григорія текло торованим руслом математично обдарованої дитини. Він закінчив знамениту ленінградську СШ №239 із поглибленим вивчанням математики. 1982 року в складі команди радянських школярів став переможцем Міжнародної математичної олімпіади в Будапешті і був нагороджений золотою медаллю. У 16 років без іспитів зарахований до Ленінградського держуніверситету. Після його закінчення вступив до аспірантури при Санкт-Петербурзькому відділенні Математичного інституту ім. В.Стеклова. Публікував статті в провідних наукових журналах Росії та США. Захистив кандидатську дисертацію. До речі, для отримання зовнішнього відгуку на дисертацію Перельман приїжджав до Харкова, відомого своєю науковою школою академіка Олександра Погорєлова у галузі геометрії, й дістав такий відгук у відділі геометрії Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.Вєркіна НАН України. 1992 року після захисту дисертації Перельмана запросили провести по семестру в Нью-Йоркському університеті й Університеті Стоні Брук (США). Раз на тиждень він відвідував також семінари з топології, що проходили в Інституті спеціальних досліджень у Прінстоні. Тут петербуржець уперше зустрівся з Річардом Гамільтоном. Рік по тому Григорій здобув право на дворічне стажування в Берклі (США), куди з лекціями приїжджав і Гамільтон. Під час перебування в США Перельман написав кілька оригінальних статей і дістав пропозиції щодо роботи зі Стенфорда, Прінстона, Інституту спеціальних досліджень і Тель-Авівського університету. Однак він не прийняв жодну з них, і повернувся до Санкт-Петербурга, як згодом стало ясно, щоб продовжити роботу над гіпотезою Пуанкаре. Він каже, що ніде йому не працюється так добре, як у Росії. Поява інтернету дозволила Перельману працювати самому, водночас продовжуючи користуватися знаннями інших. — Перельман працював над статтями Гамільтона і провів з них кілька семінарів, — розповідав журналістам колишній колега Григорія по Інституту ім. В.Стеклова Михайло Громов, який працює нині у Франції в Інституті вищих наукових досліджень. — Йому не потрібна була чиясь допомога. Йому подобалося працювати самостійно. Він нагадує мені Ньютона — своєю одержимістю ідеєю, бажанням працювати самому, байдужістю до думки інших людей. Ньютон був просто нестерпний. Григорій, звісно, приємніша людина, але — геть одержима. Довівши гіпотезу Пуанкаре, Перельман не відіслав свою роботу до математичного журналу, як це роблять зазвичай, де експерти дають висновок — чи є доведення повним, коректним і оригінальним, і тільки потім стаття друкується. Без будь-якої експертизи Перельман розмістив своє доведення в Інтернеті на сайті архіву попередніх робіт Лос-Аламоської наукової лабораторії (www.arxiv.org). Цей сайт використовується математиками для публікації препринтів — матеріалів, що очікують на публікацію в спеціалізованих виданнях. Один препринт під назвою «Формула ентропії для потоків Річчі та її геометричні застосування» було викладено ним у вересні 2002 року, а ще через кілька місяців, 2003 року, — ще два препринти. Потім учений розіслав текст доведення десяти спеціалістам із США, котрі теж працювали над гіпотезою, зокрема Гамільтону і двом математикам китайського походження — Тяну і Яу, зі зверненням — «Дозвольте представити на ваш розсуд мою статтю». Якби в доведенні було виявлено помилки, йому загрожувала б публічна ганьба, до того ж, за існуючими правилами, ніщо не завадило б іншому математику виправити виявлені недоліки й оголосити про свій пріоритет. Саме доведення Перельмана теж мало незвичний вигляд. Воно було дуже коротким, конспективним, із масою скорочень. Логічні ланцюжки, які могли б бути розгорнуті в багатосторінкові пояснення, гранично стиснені. Повного доведення в усіх деталях, зокрема у надзвичайно важливих місцях розв’язання, він не надав, через що навіть фахівці не могли відразу зрозуміти й оцінити роботу. Зате його статті містили масу найцікавіших результатів, які не мали стосунку до основної теми. Пояснюючи генія... Через складність доведення і конспективність викладу робота Григорія була надзвичайно вразлива й дала привід іншим математикам активно претендувати на авторство. Звісно, ніхто не ідеалізує науковий світ узагалі і математичну спільноту зокрема. У цій сфері людської діяльності працюють такі ж захоплені пристрастями люди, як і скрізь, і в ній теж є місце не лише подвигу. Битва за гроші, престиж і владу розпочалася тут, як і скрізь, не вчора і, на жаль, не закінчиться завтра. Так, відомий учений Шін-Тун Яу, професор математики в Гарварді і директор математичних інститутів у Пекіні та Гонконгу, віддавав Перельману лише 25% успіху в розв’язанні гіпотези Пуанкаре, решту він розподілив між Річардом Гамільтоном і своїми двома учнями — Сі-Пінь Чжу і Хуай-Донг Као. Він заявив, що в роботі Перельмана, безсумнівно, блискучій, багато ключових аспектів доведення подані схематично, деякі лише позначені, а деякі просто відсутні. І що його учні опублікували самостійне доведення цієї гіпотези, спираючись на роботи Перельмана точно так само, як той спирався на роботи Гамільтона. Розгорнута дискусія засвідчила, що багато математиків сприймають поведінку Яу у ситуації з гіпотезою Пуанкаре як порушення етики, вони стурбовані тим, що математиці в цілому було завдано шкоди. Проблема полягала в тому, що дуже мало фахівців мали достатній рівень знань і кваліфікацію, аби зуміти оцінити і захистити авторство Перельмана. Навіть Гамільтон казав, що доведення «важко зрозуміти», і деякі місця радше схожі на «начерк» (хоча й додав, що він із «величезним захопленням» ставиться до роботи Перельмана). Три провідні математики світу — Тян, Лотт і Кляйнер — чотири роки проводили скрупульозний процес пояснення доведення, крок за кроком перевіряючи його логіку, і винесли вердикт: проблему Пуанкаре вирішено завдяки Перельману і його докази коректні. Робота Чжу і Као деталізує Перельмана, але не містить принципової новизни. Звісно, користуючись висловлюванням Ньютона, Перельман «стояв на плечах гігантів», зокрема Гамільтона, але він, безсумнівно, бачив набагато далі, ніж решта. Нещодавно Тян разом із іншим американським математиком Морганом підготував монографію, де було заповнено всі дірки в конспективному доведенні Перельмана. Вона мала послужити посібником для інших математиків, які намагаються зрозуміти логіку доведення гіпотези. Показово, що коли три препринти Григорія зайняли усього близько 60 сторінок, то праця Тяна і Моргана з їхнього роз’яснення «важила» вже 473 сторінки. (До речі, на вивчення доведення Перельмана Національний фонд науки США виділив спеціалістам близько мільйона доларів у вигляді грантів). — Я багато разів, читаючи Перельмана, ловив себе на думці, що не розумію жодного слова, — відверто сказав Джон Морган на прес-конференції в Іспанії. (Інтерв’ю з ним було опубліковано в бюлетені Міжнародного математичного конгресу). — Я йшов додому і думав над цим. Якщо не розумів, то розмовляв із Гамільтоном, іншими математиками. Коли ж, нарешті, я розумів, що це значить — через години, дні, іноді тижні — я запитував себе: «О’кей, якщо мені треба пояснити ці основні тези в одному параграфі, як я це зроблю?» Так повторювалося знову і знову. Я жодного разу не знайшов параграфа, який Перельман виклав інакше, ніж як неймовірно стислий опис аргументів. — Ви зустрічалися з Перельманом? — запитали Моргана журналісти. — Я зустрічався з ним, коли він приїжджав 2003 року до Америки, щоб пояснити свої ідеї. Після того як він повернувся до Росії, я листувався з ним електронною поштою, намагаючись зрозуміти його роботу. Він завжди був дуже привітний і терплячий, пояснюючи свої ідеї. — Чи можете ви сказати, що він геній? — Я не вживаю таких слів. Він неймовірно талановитий, сильний і з величезною інтуїцією математик. Те, що він зробив, — відображення його неймовірної потужності. — Ви, напевно, витратили немислиму кількість часу на доведення Перельмана. — Так, і на це у мене були три причини. Перша — я сам тополог, і тому хотів зрозуміти розв’язання найфундаментальнішої проблеми топології. Як же цей хлопець зробив це? Друга – коли я почав розуміти аргументи, я дедалі більше переймався красою доведення. І третя – я хотів принести користь математичній спільноті, я хотів, щоб топологи змогли зрозуміти таке прекрасне доведення. Але коли б я знав, скільки роботи мені слід буде виконати, можливо, два роки тому я вибрав би інший шлях. Містер Ікс Що ж робив у цей час Григорій Перельман? Як він, повною мірою усвідомлюючи, якого найвищого рівня завдання вирішив, реагував на здійнятий галас? Він не брав участі у дискусії про авторство, його контакти з колегами були зведені до мінімуму, а журналістів він уникав. Мабуть, одне з небагатьох, може, навіть єдине інтерв’ю, в якому петербурзький математик трохи відкрив свій внутрішній світ, Григорій дав американським науковим журналістам Сільвії Насар і Девіду Грубберу. Його опублікували 21 серпня нинішнього року в «Нью-Йоркері» під заголовком «Багатолика доля. Легендарна задача і битва за пріоритет». «Григорій Перельман і справді справжній самітник, — пишуть американці. — Торік у грудні він звільнився з Інституту математики ім. В.Стеклова в Санкт-Петербурзі і ніде не працює. Він живе зі своєю матір’ю в квартирі на околиці міста. Попри те, що він ніколи раніше не погоджувався на інтерв’ю, він був приязний і щирий із нами, коли наприкінці червня ми нанесли йому візит». Щоправда, інтерв’ю теж проходило своєрідно — під час чотиригодинної екскурсії пішки містом, яку Григорій влаштував журналістам, а потім на конкурсі вокалістів, що проходив у Петербурзькій консерваторії, де вони разом провели близько п’яти годин. Однак Сільвії та Девіду вдалося поставити свої запитання і на деякі з них дістати відповіді. Зокрема Перельман сказав їм, що медаль Філдса його геть не цікавила: «Всім зрозуміло, що коли доведення правильне, то ніякого іншого визнання заслуг непотрібно. …Деяким людям просто знадобиться час, аби усвідомити: велика гіпотеза Пуанкаре перестала бути гіпотезою». Григорій згадав про епізод із минулого, коли в нього відбулася суперечка з колегою з приводу авторства одного доведення. Тоді його «...сповнили жахом розпливчасті уявлення про етику, які панували в математиці». «Я вирішив: для мене буде правильним не брати участі у процесі верифікації доведення й у всіх цих обговореннях, — сказав Григорій американцям. — Мені було важливо не втручатися в процес. Ніщо з того, що я можу сказати, не має ані найменшого суспільного інтересу. Я кажу так не тому, що не хочу втручання у своє життя чи хочу щось приховати. Я просто не вважаю себе цікавим публіці». Що це? Ідеалізм? Граничні вимоги до етичності у сфері науки? Реакція генія, ображеного ницою метушнею навколо авторства? Американські журналісти наводять цікаву паралель. Перельман любить ходити на оперні вистави в Маріїнському театрі в Санкт-Петербурзі. З того місця, де він полюбляє сидіти — на самісінькому верху, на гальорці, — не можна розгледіти вирази облич виконавців або деталі їхніх костюмів. Але Григорія цікавлять лише їхні голоси, за його словами, акустика там, де знаходиться його місце, найкраща в театрі. «Зі схожою відстороненістю Перельман позирає на науку і на більшу частину навколишнього світу», — роблять висновок американці. …1637 року П.Ферма написав на полях книжки, що розв’язав теорему, але знайдене ним дотепний розв’язок занадто довгий, щоб його можна було помістити на полях книжки, із якою він працював. Спроби її довести поклали початок багатьом дослідженням у теорії чисел. Теорему Ферма довів лише 1994 року математик Ендрю Уайлес. «Ті, хто займається чистою математикою, люблять виклик, — писав тоді Уайлес. — Вони в захопленні від нерозв’язаних проблем. Коли ви займаєтеся математикою, вами володіє велике почуття. Ви починаєте з проблеми, яка становить для вас цілковиту загадку. Ви її не можете зрозуміти, така вона складна. Ви не маєте ані найменшого розуміння про те, як до неї підступитися. Але от нарешті вам вдається розв’язати її, і вас охоплює непередаване відчуття її краси, витонченості та співмірності деталі й цілого». Можливо, це непередаване відчуття охопило після завершення роботи і Григорія Перельмана. Тим більше був контраст між цим почуттям і наступною метушнею колег навколо пріоритету і відповідності-невідповідності оформлення доведення формальним стандартам. Чи отримає Григорій Перельман мільйон доларів? До списку проблем тисячоліття, що дістав назву Millennium Prize Problems, ввійшла і гіпотеза Пуанкаре. Відповідно за її доведення Перельману має бути присуджений приз в один мільйон доларів. Однак не все так просто. Сьогодні ніхто не може з упевненістю передбачити, як вчинить призовий комітет Інституту Клея. Якщо медаль Філдса могли вручити за розпливчастий «величезний внесок у розв’язання задачі Пуанкаре» і з метою заохочення подальшого розвитку, то премія Клея означає, що нагороджуваний прямо визнається людиною, котра остаточно й безповоротно розв’язала задачу. Чи буде інститут вплутуватися в «битву за пріоритет»? Припустімо, міркують фахівці, премію могли б поділити між Гамільтоном і Перельманом, але що робити у разі, коли китайці заявлять протест? До того ж, відповідно до правил, ухвалених Науковою консультативною радою інституту, будь-яка робота, що претендує на приз, має відповідати кільком умовам. Вона повинна бути опублікована в спеціалізованому журналі, що має міжнародну репутацію, витримати дворічний період після публікацій, а також у цілому схвалена математичною спільнотою. Тільки після цього вчена рада вносить свої рекомендації на розгляд директорів інституту. Як бачимо, у випадку з Перельманом не всіх цих умов дотримано. Чи заплющить призовий комітет очі на відсутність публікації доведення в спеціалізованому журналі? Чи прийме Перельман приз? Адже від нього можна сподіватися чого завгодно: він може відмовитися від мільйона доларів так само, як і від медалі Філдса, і поставити Інститут Клея в незручне становище. У кожному разі, американським журналістам він заявив, що не прийматиме жодного рішення доти, доки нагорода не буде запропонована. Багато математиків вважають, що й тут потрібно вчинити, як із медаллю Філдса, — її присудили Перельману, базуючись на його досягненнях, не беручи до уваги можливу реакцію. Яким буде рішення призового комітету Інституту Клея? Коли його ухвалять? І головне, чи справді один із видатних математиків століття піде з математики, як він заявив? Відповідь на цю задачу поки невідома.

[ред.] Джерела

• "На математичному Евересті вирують пристрасті. Дзеркало тижня № 42 (621) 4 — 10 листопада 2006

http://www.dt.ua/3000/3100/54950/

Цю статтю необхідно відформатувати, використовуючи мову розмітки Вікі. Ви можете допомогти проекту, зробивши це!