Двоїстість Пуанкаре

У математиці, теорема двоїстості Пуанкаре, що названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним твердженням про структуру груп гомологій та когомологій многовиду. Вона стверджує, що всі k-ті групи когомологій n-вимірного орієнтовного замкнутого многовиду M ізоморфні (n − k)-м групам гомологій M:

$H^k(M) \cong H_{n-k}(M).$

Історія

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (n − k)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного многовиду рівні:

$b_k(M)=b_{n-k}(M).$

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій.

Сучасне формулювання

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний многовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій H^k(M) в (n − k)-ю группу гомологий H_n − k(M):

$D:H^k(M)\to H_{n-k}(M)$.

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом многовиду $[M]$:

$D(\alpha)=[M]\frown\alpha$,

де $\alpha\in H^k(M)$ — коцикл, $\frown$ обозначає $\frown$-множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних многовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для $k<0$ групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при $k>n$ на n-вимірному многовиді є нульовими.

Білінійне парування

Нехай M замкнутий орієнтовний многовид, позначемо через $\tau H_k (M)$ кручення групи $H_k (M)$, і $fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M)$ її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

$fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \Bbb Z$

і

$\tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \Bbb Q / \Bbb Z.$

(Здесь $\Bbb Q / \Bbb Z$ — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп $H_k(M)$ і $H_{n-k}(M)$, коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп $H_k (M)$ і $H_{n-k-1} (M)$.

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

$fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(fH_{n-k} (M),\Bbb Z)$

і

$\tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \Bbb Q/\Bbb Z)$

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре $H_k (M) \simeq H^{n-k} (M)$ і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності $fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z)$ и $\tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z)$. Таким чином, групи $fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M)$ є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, $\tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M)$.

Література

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989