Двоїстість Пуанкаре

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, теорема двоїстості Пуанкаре, що названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним твердженням про структуру груп гомологій та когомологій багатовиду. Вона стверджує, що всі k-ті групи когомологій n-вимірного орієнтовного замкнутого багатовиду M ізоморфні (n − k)-м групам гомологій M:

H^k(M) \cong H_{n-k}(M).

Історія[ред.ред. код]

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (nk)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного багатовиду рівні:

b_k(M)=b_{n-k}(M).

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій[1][2].

Сучасне формулювання[ред.ред. код]

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний багатовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій Hk(M) в (n − k)-ю группу гомологий Hn − k(M):

D:H^k(M)\to H_{n-k}(M).

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом багатовиду [M]:

D(\alpha)=[M]\frown\alpha,

де \alpha\in H^k(M) — коцикл, \frown обозначає \frown-множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних багатовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для k<0 групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при k>n на n-вимірному багатовиді є нульовими.

Білінійне парування[ред.ред. код]

Нехай M замкнутий орієнтовний багатовид, позначемо через \tau H_k (M) кручення групи H_k (M), і fH_k (M) = H_k (M) / \tau H_k (M) її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

fH_k (M) \otimes fH_{n-k} (M) \to \Bbb Z

і

\tau H_k (M) \otimes \tau H_{n-k-1} (M) \to \Bbb Q / \Bbb Z.
(Здесь \Bbb Q / \Bbb Z — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп H_k(M) і H_{n-k}(M), коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп H_k (M) і H_{n-k-1} (M).

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

fH_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(fH_{n-k} (M),\Bbb Z)

і

\tau H_k (M) \to \mathrm{Hom}_{\Bbb Z}(\tau H_{n-k-1} (M), \Bbb Q/\Bbb Z)

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре H_k (M) \simeq H^{n-k} (M) і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності fH^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Hom}(H_{n-k} (M); \mathbb Z) и \tau H^{n-k} (M) \equiv \mathrm{Ext}(H_{n-k-1} (M); \mathbb Z) \equiv \mathrm{Hom}(\tau H_{n-k-1} (M); \mathbb Q/\mathbb Z). Таким чином, групи fH_k (M)\simeq fH_{n-k} (M) є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, \tau H_k (M)\simeq \tau H_{n-k-1} (M).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285–343
  2. Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277–308

Література[ред.ред. код]

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989