Дельта-функція Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як площу під графіком функції.
Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за розподілом) послідовності гаусівських функцій розподілу \delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2} as a\to 0.

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці a, евклідового простору \R^n, записується за допомогою δ-функції у вигляді \ m\delta(x-a).

Означення[ред.ред. код]

δ-функція визначається формальним співвідношенням

(\delta;f)\;=\;\int_{\R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)

для будь-якої неперервної функції f(x)\,.

Властивості[ред.ред. код]

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

  • \delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0 .
  • \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1.
  • x\delta^\prime(x)=-\delta(x).
  • \delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}, де x_k — нулі функції f(x).

Інтегральне представлення[ред.ред. код]

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

I(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = \lim_{N = \infty} 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}.    (2)

Відомо, що

\int\limits_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi.    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого N\, справедлива рівність:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi .    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні N\, виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до \delta(t)\,; це дозволяє зробити висновок, що:

I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t).

Похідна дельта-функції[ред.ред. код]

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції \delta(x):

\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx.

Підставивши f(x)=xg(x)\,\!, одержимо вираз:

\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx.

Після перетворення маємо:

-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx.

Оскільки \int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0, одержуємо остаточний вираз

x\delta^\prime(x)=-\delta(x).

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x);
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a);
\int\limits_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0.

Перетворення Фур'є[ред.ред. код]

До дельта-функції x(t)=\delta(t) можна застосувати перетворення Фур'є:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = e^{-i 2\pi f \cdot 0}=1

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: F(\delta)=1.

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

\sqrt{2\pi}H(t),

одержимо її образ у вигляді:

\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t).

Представлення в різних координатах і системах відліку[ред.ред. код]

У двовимірному просторі:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1;
\delta(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,\;y);
\delta^{2}(x,\;y)=\delta(x)\delta(y)\,\!.

У полярних координатах:

\delta^{2}(x,\;y)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|}.

У тривимірному просторі:

\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;
\delta^{3}(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!.

У циліндричній системі:

\delta^{3}(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}.

У сферичній системі відліку:

\delta^{3}(r,\;\theta,\;\phi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}\,\!.

Фізична інтерпретація[ред.ред. код]

Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція
Графік дельта-функції

Миттєве прискорення[ред.ред. код]

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

a(t)=\nu\delta(t-t_a).

Функція Гріна[ред.ред. код]

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні h \rightarrow 0 хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора L, що діє на узагальнені функції над многовидом M в точці x_0. Рівняння має вигляд (\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0).

де \nabla^2 — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

\nabla^2 G=-4\pi\delta,

де

G = \frac{1}{r} — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) веде себе подібно до дельта-функції.[1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

\Phi(x)=\int{\varrho(x^\prime)\over\left|x-x^\prime\right|} \,d^3x^\prime

задовольняє рівнянню Пуасона:

\nabla^2\Phi=4\pi\varrho.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також[ред.ред. код]

Функція Хевісайда

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]