Дельта-функція Дірака

схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як площу під графіком функції.

Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за розподілом) послідовності гаусівських функцій розподілу $\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$ as $a\to 0.$

δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці $a$, евклідового простору $\R^n$, записується за допомогою δ-функції у вигляді $\ m\delta(x-a)$.

Означення

δ-функція визначається формальним співвідношенням

$(\delta;f)\;=\;\int_{\R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)$

для будь-якої неперервної функції $f(x)\,$.

Властивості

Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:

• $\delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0$.
• $\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1$.
• $x\delta^\prime(x)=-\delta(x)$.
• $\delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}$, де $x_k$ — нулі функції $f(x)$.

Інтегральне представлення

У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

$I(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega$,    (1)

який можна інтерпретувати як границю

$I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = \lim_{N = \infty} 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}$.    (2)

Відомо, що

$\int\limits_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi$.    (3)

Як наслідок з (3) для будь-якого $N\,$ справедлива рівність:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi$.    (4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні $N\,$ виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до $\delta(t)\,$; це дозволяє зробити висновок, що:

$I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t)$.

Похідна дельта-функції

Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції $\delta(x)$:

$\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx$.

Підставивши $f(x)=xg(x)\,\!$, одержимо вираз:

$\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx$.

Після перетворення маємо:

$-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx$.

Оскільки $\int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0$, одержуємо остаточний вираз

$x\delta^\prime(x)=-\delta(x)$.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

$\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx$.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

$\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)$;

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a)$;

$\int\limits_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0$.

Перетворення Фур'є

До дельта-функції $x(t)=\delta(t)$ можна застосувати перетворення Фур'є:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = e^{-i 2\pi f \cdot 0}=1$

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: $F(\delta)=1$.

Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — первісна дельта-функції:

$H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt$.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

$\sqrt{2\pi}H(t)$,

одержимо її образ у вигляді:

$\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t)$.

Представлення в різних координатах і системах відліку

У двовимірному просторі:

$\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1$;

$\delta(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,\;y)$;

$\delta^{2}(x,\;y)=\delta(x)\delta(y)\,\!$.

У полярних координатах:

$\delta^{2}(x,\;y)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|}$.

У тривимірному просторі:

$\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1$;

$\delta^{3}(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!$.

У циліндричній системі:

$\delta^{3}(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}$.

У сферичній системі відліку:

$\delta^{3}(r,\;\theta,\;\phi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}\,\!$.

Фізична інтерпретація

Графік функції Хевісайда, похідна від якої — дельта-функція

Графік дельта-функції

Миттєве прискорення

Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

$a(t)=\nu\delta(t-t_a)$.

Функція Гріна

Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазіклачисному наближенні $h \rightarrow 0$ хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записуєтся функція Гріна лінійного оператора $L$, що діє на узагальнені функції над многовидом $M$ в точці $x_0$. Рівняння має вигляд $(\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0)$.

де $\nabla^2$ — оператор Лапласа.

Важливо відмітити наступну формулу

$\nabla^2 G=-4\pi\delta$,

де

$G = \frac{1}{r}$ — функція Гріна.

Цей вираз випливає з того, що $\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)$ веде себе подібно до дельта-функції.. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:

$\Phi(x)=\int{\varrho(x^\prime)\over\left|x-x^\prime\right|} \,d^3x^\prime$

задовольняє рівнянню Пуасона:

$\nabla^2\Phi=4\pi\varrho$.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

Див. також

Функція Хевісайда

Література

• Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4