Дивний атрактор Лоренца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дві криві показують траекторії еволюції дивного атрактора Лоренца при дуже близьких початкових умовах. Кінцеві точки значно відрізняються.

Дивний атрактор Лоренца при

λ = 28,σ = 10, b = 8 / 3

.

Ди́вний атра́ктор Ло́ренца — атрактор що демонструє хаотичну поведінку і є розв'язком системи трьох нелінійних диференціальних рівнянь, вперше записаних ^[1] в 1963 році Едвардом Лоренцом при розгляді конвекційного руху в однорідному шарі рідини, що підігрівається знизу. Рівняння Лоренца також описують конвекцію в кільцевій трубці ^[2] та поведінку одномодового лазера. Належить до класу т. зв. дивних атракторів. Варто зазначити, терміни хаос та дивні атрактори не вживалися в оригінальній роботі Лоренца (вони з'вилися в науковій літературі дещо пізніше), натомість йшлося про аперіодичні рухи.

Зміст

1 Рівняння
2 Стаціонарні точки
3 Траекторії
4 Програми, які моделюють поведінку системи рівнянь Лоренца
5 Джерела
6 Література

[ред.] Рівняння

Початковою системою, що в кінцевому результаті призводить до атрактора Лоренца є однорідний шар рідини висотою H та з фіксованою різницею температури, $Δ T$ між верхнім та нижнім рівнями. Якщо припустити, що всі рухи рідини паралельні площині $X Z$ та не відбувається змін в напрямку осі $Y$ , то записавши рівняння Нав'є-Стокса, рівняння неперервності рідини, рівняння теплопровідності та скориставшись наближенням Бусінеска, можна отримати рівняння руху рідини у наступній формі:

$\frac{\partial }{\partial t} \nabla^2 \psi=\frac{\partial \psi}{\partial z}\frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \nabla^2 \psi}{\partial z} +\nu \nabla^2 (\nabla^2 \psi)+g\alpha \frac{\partial T}{\partial x},$

$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial \psi}{\partial x}- \frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial z}+\kappa \nabla^2 T+\frac{\Delta T}{H}\frac{\partial \psi}{\partial x}~,$

де $ψ$ — функція потоку рідини ( $v_x=-\partial_z \psi$ , $v_z=\partial_x \psi$ , ${\vec v}=(v_x,v_z)$ — поле швидкостей), $T$ — відхилення температури рідини від її критичного значення, при якому зникає конвекція. Параметри $g,α,ν$ та $κ$ позначають, відповідно, прискорення вільного падіння, коефіцієнт теплового розширення, кінематичну в'язкість рідини та її теплопровідність. Як було встановлено Релеєм, в такій системі можуть утворюватися конвекційні вали (ізотропні в напрямку осі $O Y$ ), в яких відбувається обертання рідини: тепліша рідина піднімається нагору, а холодніша опускається донизу. Конвекційні вали ділять площину $X Z$ на приблизно однакові комірки. Згідно ідей Релея ^[3] та Зальцмана^[4], можна розкласти поля $ψ(x, z, t)$ та $T (x, z, t)$ в ряд Фур'є по $x$ та $z$ і обмежитись лише першими членами розкладу:

$\frac{a}{\kappa(1+a^2)}\psi(x,z,t)=\sqrt{2}X \sin \left (\frac{\pi a x}{H}\right )\sin \left (\frac{\pi z}{H}\right ),$
$\frac{\pi R_a}{\Delta T R_c}T(x,z,t)=\sqrt{2}Y \cos \left (\frac{\pi a x}{H}\right )\sin \left (\frac{\pi z}{H}\right )-Z \sin \left (\frac{2\pi z}{H}\right ),$

де $R a = g α H 3 Δ T / (νκ)$ — число Релея, $R c = π 4 (1 + a 2) 3 / a 2$ , параметр a задає співвідношення вертикального та горизонтального розмірів комірок, що утворюються в результаті конквекції, а змінні $X, Y$ та $Z$ залежать лише від часу. Після переходу до безрозмірного часу шляхом заміни $t \to t ~ \pi^2(1+a^2)\kappa/H^2$ отримується система трьох звичайних диференціальних рівнянь, що носить назву рівнянь Лоренца:

$\dot{X} = - \sigma X + \sigma Y$

$\dot{Y} = - XZ + \lambda X - Y$

$\dot{Z} = XY - b Z$ ,

де точка означає диференціювання за часом, $σ = ν / κ$ — стала Прандтля, $λ = R a / R c$ , $b = 4 / (1 + a 2)$ . Динамічні змінні $X (t)$ , $Y (t)$ та $Z (t)$ описують, відповідно, інтенсивність конвективного руху, різницю температур висхідного та низхідного потоків рідини та відхилення вертикального розподілу температури від лінійного режиму.

[ред.] Стаціонарні точки

Аналіз властивостей стаціонарних точок системи зручно робити змінюючи параметр $λ$ .

$0 < λ < 1$

Стаціонарна точка $(0,0,0)$ відповідає стану відсутності конвекції, при $0 < λ < 1$ вона є стійкою (стійкий вузол), при $λ > 1$ стає нестійкою (сідло-вузлом).

$1 < λ < λ 1$

В момент втрати стійкості точки $(0,0,0)$ з'являються дві інші стійкі стаціонарні точки, фокуси, $(\sqrt{b(\lambda-1)},\sqrt{b(\lambda-1)},\lambda-1)$ та $(-\sqrt{b(\lambda-1)},-\sqrt{b(\lambda-1)},\lambda-1)$ . Вони відповідають режиму сталої конвекції. Фазові криві прямують до цих стаціонарних точок по спіралям. Чим більший параметр $λ$ , тим більший розмах мають ці спіралі при підході до стаціонарних точок.

$λ 1 < λ < λ 2$

Це критичне значення $λ 1$ можна встановити лише чисельно, зокрема для $σ = 10, b = 8 / 3$ воно дорівнює $\lambda_1 \simeq 13.926$ . При $λ = λ 1$ траекторія, почавши рух з начала координат $(0,0,0)$ знову приходить в нього. Таким чином відбувається нелокальна біфуркація. При $λ > λ 1$ навколо стаціонарних точок з'являються два нестійких граничних цикли. Утворюється інваріантна монжина точок, що відповідає хаотичному «блуканню» траекторій, що постійно відштовхуються в від граничних циклів. Проте притягуючою ця множина не є, тому говорять про дивний репелер.

$\lambda_2<\lambda< \frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$

Значення $λ 2$ (при $σ = 10, b = 8 / 3$ воно дорівнює $\lambda_2\simeq 24.06$ ) сигналізує про перетворення дивного репелера в дивний атрактор (іноді говорять про т. зв. нестандартний атрактор Лоренца), який співіснує з двома іншими атракторами — стійкими фокусами.

$\lambda >\frac{\sigma(\sigma+b+3)}{\sigma-b-1}$

При досягненні цього критичного значення нестійкі граничні цикли стягуються в стаціонарні точки і стаціонарті точки втрачають свою стійкість. Утворюється т. зв. стандартний атрактор Лоренца, що стає єдиним атрактором системи.

[ред.] Траекторії

Фазові траекторії, що починаються в будь-якій точці спочатку, здавалося б, притягаються до однієї з стаціонарних точок, але не можуть підійти надто близько, оскільки стаціонарна точка нестійка. В якийсь момент фазова траекторія перестрибує в окіл іншої стаціонарної точки, але там теж не може затриматися, й знову перестрибує до першої стаціонарної точки. Як наслідок, система безупинно аперіодично перестрибує від однієї точки до іншої.

Фазові траекторії чутливі до щонайменшої зміни початкових умов. Дві нескінченно близькі початкові точки в фазовому просторі з часом розходяться.

Ефект метелика

Момент часу t=1 (Збільшити) Момент часу t=2 (Збільшити) Момент часу t=3 (Збільшити)

Рисунки зображують поведінку двох траекторій рівнянь Лоренцца (при параметрах $λ$ =28, σ = 10 та b = 8/3), які в початковий момент були відокремлені одна від одної по змінній $X$ на величину 10^-5. В початковий момент часу складається враження, що траектрорії співпадають, проте через деякий час стає очевидним, що синя та жовта траекторії суттєво розбігаються.

Java анімація атрактора Лоренца.

В 1983 році Грассбергер та Прокаччія оцінили ^[5] розмірність Хаусдорфа дивного атрактора Лоренца і одержали величину $2.06\pm 0.01$ .

При дуже великих значеннях $λ$ , $\lambda \gg \sigma(\sigma+b+3)/(\sigma-b-1)$ динаміка системи Лоренца описується звичайними граничними циклами. Зокрема, при $λ = 99.96$ , $σ = 10$ , $b = 8 / 3$ утворюється граничний цикл, що має вигляд вузлового тора $T (3,2)$ . При зменшенні $λ$ перехід до хаотичного режиму відбувається чарез каскад біфуркацій подвоєння періоду.

Водночас, фазові траекторії не можуть втекти на нескінченність, оскільки при великих X, Y, Z виникають сили, що повертають фазові траекторії в область малих значень змінних. Якщо домножити перше рівняння Лоренца на $X / σ$ , друге - на $Y$ , а третє - на $Z$ , то а потім додати всі три рівняння, то результат можна записати як

$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left ( \frac{X^2}{\sigma}+Y^2+Z^2\right )=-\left(X-\frac{Y}{2}\right)^2-\frac{3}{4}Y^2-b\left(Z-\frac{\lambda}{2}\right)^2+\frac{b \lambda^2}{4}\equiv E(X,Y,Z).$
Поверхня, що задається нерівністю $E(X,Y,Z) \ge 0$ має вигляд еліпсоїда із зміщеним центром мас. Не складно здогадатися, що за будь-якого вибору початкових умов, еволюція системи на атракторі не призведе до виходу за межі одного з таких еліпсоїдів.

Квазіперіодичних коливань в системі Лоренца бути не може за жодних умов.

[ред.] Програми, які моделюють поведінку системи рівнянь Лоренца

Borland C

#include <graphics.h>
#include <conio.h>
void main()
{
    double x = 3.051522, y = 1.582542, z = 15.62388, x1, y1, z1;
    double dt = 0.0001;
    int a = 5, b = 15, c = 1;
    int gd=DETECT, gm;
    initgraph(&gd, &gm, "C:\\BORLANDC\\BGI");
    do {
	x1 = x + a*(-x+y)*dt;
	y1 = y + (b*x-y-z*x)*dt;
	z1 = z + (-c*z+x*y)*dt;
	x = x1;	y = y1;	z = z1;
	putpixel((int)(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
		 (int)(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    } while (!kbhit());
    closegraph();
}

Borland Pascal

Program Lorenz;
Uses CRT, Graph;
Const
  x: Real = 3.051522;
  y: Real = 1.582542;
  z: Real = 15.62388;
  dt = 0.0001;
  a = 5;
  b = 15;
  c = 1;
Var
  gd, gm: Integer;
  x1, y1, z1: Real;
Begin
  gd:=Detect;
  InitGraph(gd, gm, 'c:\bp\bgi');
  While not KeyPressed Do Begin
      x1 := x + a*(-x+y)*dt;
      y1 := y + (b*x-y-z*x)*dt;
      z1 := z + (-c*z+x*y)*dt;
      x := x1;
      y := y1;
      z := z1;
      PutPixel(Round(19.3*(y - x*0.292893) + 320),
               Round(-11*(z + x*0.292893) + 392), 9);
    End;
    CloseGraph;
    ReadKey;
End.

FORTRAN

program LorenzSystem
 
real,parameter::sigma=10
real,parameter::r=28
real,parameter::b=2.666666
real,parameter::dt=.01
integer,parameter::n=1000
 
real x,y,z
 
open(1,file='result.txt',form='formatted',status='replace',action='write')
 
x=10.;y=10.;z=10.
 
do i=1,n,1
    x1=x+sigma*(y-x)*dt
    y1=y+(r*x-x*z-y)*dt
    z1=z+(x*y-b*z)*dt
    x=x1
    y=y1
    z=z1
    write(1,*)x,y,z
enddo
 
print *,'Done'
 
close(1)
 
end program LorenzSystem

QBASIC/FreeBASIC("fbc -lang qb")

DIM x, y, z, dt, x1, y1, z1 AS SINGLE
DIM a, b, c AS INTEGER
x = 3.051522: y = 1.582542: z = 15.62388: dt = 0.0001
a = 5: b = 15: c = 1
SCREEN 12
PRINT "Press Esc to quit"
WHILE INKEY$ <> CHR$(27)
    x1 = x + a * (-x + y) * dt
    y1 = y + (b * x - y - z * x) * dt
    z1 = z + (-c * z + x * y) * dt
    x = x1
    y = y1
    z = z1
    PSET ((19.3 * (y - x * .292893) + 300), (-11 * (z + x * .292893) + 360)), 9
WEND
END

[ред.] Джерела

↑ Lorenz, E. N. (1963). «Deterministic nonperiodic flow». J. Atmos. Sci. 20: 130–141. DOI:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
↑ Rubenfeld, L. A. and Siegman, W. L. (1977). «Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model». SIAM J. Appl. Math. 32: 871.
↑ Rayleigh, Lord (1916). «On convective currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side.». Phil. Mag. 32: 529-546.
↑ Saltzman, B. (1962). «Finite amplitude free convection as an initial value problem - I.». J. Atmos. Sci. 19: 329-341. DOI:10.1175%2F1520-0469%281962%29019%3C0329%3AFAFCAA%3E2.0.CO%3B2.
↑ P. Grassberger and I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D 9: 189–208. DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1.

ВікіСховище має мультимедіа-дані до цієї статті:

Дивний атрактор Лоренца

[ред.] Література

Сугаков В. Й.. Основи синерґетики (2001), Київ: Обереги.

Eric W. Weisstein, Lorenz attractor (англійською мовою) на сайті MathWorld.

Lichtenberg, A.J. and Lieberman, M.A.. Regular and Chaotic Dynamics (1992), Springer, Berlin. ISBN 978-0-387-97745-4. Springer link

Ott, Edward. Chaos in Dynamical Systems (2002), Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

[0] Lorenz, E. N. (1963). «Deterministic nonperiodic flow». J. Atmos. Sci. 20: 130–141. DOI:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.

[1] Rubenfeld, L. A. and Siegman, W. L. (1977). «Nonlinear dynamic theory for a double-diffusive convection model». SIAM J. Appl. Math. 32: 871.

[2] Rayleigh, Lord (1916). «On convective currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side.». Phil. Mag. 32: 529-546.

[3] Saltzman, B. (1962). «Finite amplitude free convection as an initial value problem - I.». J. Atmos. Sci. 19: 329-341. DOI:10.1175%2F1520-0469%281962%29019%3C0329%3AFAFCAA%3E2.0.CO%3B2.

[4] P. Grassberger and I. Procaccia (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D 9: 189–208. DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Дивний атрактор Лоренца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Рівняння

[ред.] Стаціонарні точки

[ред.] Траекторії

[ред.] Програми, які моделюють поведінку системи рівнянь Лоренца

[ред.] Джерела

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами

Ефект метелика
Момент часу t=1 (Збільшити)	Момент часу t=2 (Збільшити)	Момент часу t=3 (Збільшити)

Рисунки зображують поведінку двох траекторій рівнянь Лоренцца (при параметрах $λ$ =28, σ = 10 та b = 8/3), які в початковий момент були відокремлені одна від одної по змінній $X$ на величину 10^-5. В початковий момент часу складається враження, що траектрорії співпадають, проте через деякий час стає очевидним, що синя та жовта траекторії суттєво розбігаються.
Java анімація атрактора Лоренца.