Диз'юнктне об'єднання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \{A_i | i \in I\} — сімейство множин, перерахованих індексами з I. Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\}

Елементи диз'юнктного объединання є впорядкованими парами (x, i). Таким чином i є індекс, який показує, з якої множини A_i елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин A_i канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

При \forall i, j \in I: i \neq j множини A_i^* и A_j^* не мають спільних елементів, навіть якщо A_i \cap A_j \neq \varnothing. У виродженому випадку, коли множини A_i \forall i \in I рівні якійсь конкретній A, диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини A та множини I, тобто

\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.

Використання[ред.ред. код]

Іноді можна зустріти позначення A + B для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

\sum_{i\in I}A_i.

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, співпадаючи з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо C — це сімейство множин, то

\bigcup_{A \in C} A

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких A та B з C виконується наступна умова:

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Література[ред.ред. код]

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266

Див. також[ред.ред. код]