Дискретний логарифм

В математиці, особливо в абстрактній алгебрі і її застосуваннях, дискретний логарифм — теоретико-груповий аналог звичайного логарифму. Зокрема, звичайний логарифм log_a(b) — це розв'язок рівняння a^x = b у полі дійсних або комплексних чисел. Подібно, якщо g і h елементи зі скінченної циклічної групи G, тоді розв'язок x рівняння g^x = h зветься дискретним логарифмом h за основою g в групі G.

Приклад

Мабуть найпростіше зрозуміти дискретні логарифми в групі (Z_p)^×. Це множина {1, …, p − 1} of класів конгруентності щодо множення за модулем просте p.

Якщо ми хочемо знайти k-й степінь числа з цієї групи, ми можемо зробити це знайшовши його k-й степінь і вирахувавши остачу від ділення на p. Цей процес називається дискретним піднесенням до степеня. Наприклад, розглянемо (Z₁₇)^×. щоб обчислити 3⁴ в цій групі, ми спершу обчислюємо 3⁴ = 81, і тоді ділимо 81 на 17, отримуючи в залишку 13. Отже в групі (Z₁₇)^× 3⁴ = 13 .

Дискретний логарифм — це просто обернена операція. Наприклад, візьмемо рівняння 3^k ≡ 13 (mod 17) for k. Як показано вище k=4 є розв'язком. Через те що 3¹⁶ ≡ 1 (mod 17), також випливає, що якщо n ціле, тоді 3^{4+16 n} ≡ 13 × 1ⁿ ≡ 13 (mod 17). Звідси, рівняння має нескінченно багато розв'язків у вигляді 4 + 16n. Більше того, тому що 16 є найменшим додатнім цілим m, що задовільняє 3^m ≡ 1 (mod 17), тобто 16 — це показник 3 в (Z₁₇)^×, це єдині розв'язки. Тотожно, Розв'язок можна виразити як k ≡ 4 (mod 16).

Постановка задачі

Нехай в деякій скінченній мультиплікативній абелевій групі $G$ задане рівняння

$g^x=a.$ ((1))

Розв'язок задачі дискретного логарифмування полягає в віднайдені деякого цілого невід'ємного числа $x$, яке задовольняє рівнянню (1). Якщо воно розв'язне, в нього повинно бути хоча б один натуральний розв'язок, що не перевищує порядок групи. Це одразу грубо оцінює складність алгоритму пошуку розв'язків з гори — алгоритм повного перебирання, покрокового піднесення бази до наступного степеня (англ. trial multiplication), вимагає час виконання лінійний до розміру групи $G$ і отже показниково залежить від кількості цифр в розмірі групи. Існує дієвий квантовий алгоритм.

Найчастіше розглядається випадок, коли $G=\langle g\rangle$, тобто циклічна, породжена елементом $g$. В такому разі рівняння завжди має розв'язок. У випадку довільної групи питання розв'язності задачі дискретного логарифмування вимагає окремого розгляду.