Дискретний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних областях математикитопологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.

Визначення[ред.ред. код]

\varrho(x,y) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x \not=y \\
0, & x = y
\end{matrix}
\right., \quad x,y\in X.

Тоді \varrho називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.

Зауваження[ред.ред. код]

Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай X = \ 1,\ldots n\, де n \in \mathbb{N}, і \varrho - дискретна метрика на X. Тоді (X,\varrho) - дискретний метричний, а отже і топологічний простір.
  • Нехай X = \{1/n\}_{n \in \mathbb{N}}, и \varrho(x,y) = |x-y|. Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
  2. Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
  3. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 вид.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3