Диференціальне рівняння Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальне рівняння вигляду:

y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,, n≠1, 0.

називається диференціальним рівнянням Бернуллі.

Метод розв'язку[ред.ред. код]

1. Поділимо ліву і праву частини на y^n

\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).

2. Зробимо заміну

w=\frac{1}{y^{n-1}}
w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'

3. Розв'язуємо диференціальне рівняння

\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)

Його можна розв'язати за допомогою інтегрувального множника

M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.

Приклад[ред.ред. код]

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

Поділимо на y^2

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

Заміна змінних

w = \frac{1}{y}
w' = \frac{-y'}{y^2}.
w' + \frac{2}{x}w = x^2
M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.

Помножимо на M(x),

w'x^2 + 2xw = x^4,\,
\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx
wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

Результат

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]