Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальне рівняння гіперболічного типу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для описання хвильових процесів.

В канонічній формі це рівняння має вигляд:

\frac{\delta^2 u}{\delta \xi \delta \eta} + F_1\left(\xi , \eta , u, \frac{\delta u}{\delta \xi}, \frac{\delta u}{\delta \eta}\right) = 0\ .

Виходячи з загального вигляду рівняння в частинних похідних другого порядку

A\frac{\delta^2 u }{\delta x^2}+ 2B\frac{\delta^2 u }{\delta x \delta y} + C\frac{\delta^2 u }{\delta y^2} + D \frac{\delta u }{\delta x} + E \frac{\delta u }{\delta y} + Fu = f(x,y) \ ,

можна перейти до канонічного, за допомогою перетворення:

\begin{cases} \xi = \varphi(x,y) \\ \eta = \psi (x,y)\end{cases}

де \varphi, \psi - інтеграли диференціальних рівнянь характеристик.

Часто користуються другою канонічною формою для гіперболічних рівнянь. У цьому випадку

\xi = \frac{1}{2} (\varphi + \psi),\ \eta=\frac{1}{2}( \varphi - \psi)

і рівняння зводиться до вигляду

\frac{\delta^2 u}{\delta \xi^2} - \frac{\delta^2 u}{\delta \eta^2} + F_2\left( \xi, \eta, u, \frac{\delta u}{\delta \xi},\frac{\delta u}{\delta \eta} \right) = 0

Звичайна інтерпретація змінних  \xi та  \eta - час і просторова координата. До рівнянь гіперболічного типу належать хвильові рівняння, наприклад, рівняння коливання струни, рівняння Клейна-Гордона, рівняння синус-Ґордона тощо.

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]