Диференціальне рівняння з частинними похідними

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Вступ[ред.ред. код]

Розглянемо порівняно просте рівняння з частинними похідними:

 \frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=0\, .

З цього співвідношення випливає, що значення функції u(x,y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння є наступним:

u(x,y) = f(y),\,

де f — довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

 \frac{df(y)}{dx}=0\,

і його розв'язок

u(x,y) = c,\,

де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.

Визначення[ред.ред. код]

Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду

F(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_m , u ,u_{x_1} ,\ldots, u_{x_m} ,\ldots,u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(k)}, \ldots) = 0,

де F — задана дійсна функція точки (x_1 ,x_2 ,...,x_m ) області D евклідового простору E_m, \, m \geqslant 2 і дійсних змінних u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(k)} =  \frac{{\partial \;^k u(x_1^{} ,x_2,...,x_m)}}{{\partial \;x_1^{\alpha _1} \partial \;x_2^{\alpha _2} ...\partial \;x_m^{\alpha _m} }}. (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами \sum\limits_{i = 1}^m {\alpha _i  = k\,\,\;(k = 0, \ldots n  - } і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння. Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них відносяться зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.

У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(n)} (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:

k(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) = \sum \frac{\partial F}{\partial u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(n)}} \lambda_1^{a_1} \lambda_2^{a_2}\ldots \lambda_m^{a_m}.

Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.

Лінійні рівняння[ред.ред. код]

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів u_{x_1^{a_1} x_2^{a_2} \ldots x_m^{a_m}}^{(k)}.

Класифікація рівнянь другого порядку[ред.ред. код]

Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:

\sum\limits_{i,j = 1}^m {A_{ij}(x)u_{x_i^{} x_j} + \sum\limits_{i = 1}^m {B_i(x)u_{x_i}+ C(x)u = f(x).} } де A_{ij}, B_i, C, f — задані в області D дійсні функції точки x.

Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:

Q(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) = \sum\limits_{i = 1}^m A_{ij} \lambda_i \lambda_j.

У кожній точці x \in D квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних \lambda_i = \lambda_i (\sigma_1, \ldots, \sigma_m) \quad i = 1, \ldots, m, може бути приведена до канонічного виду

Q = \sum\limits_{i = 1}^m \Alpha_i \sigma_i^2.

де коефіцієнти \Alpha_i \quad i=1, \ldots, n, приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.

Коли всі \Alpha_i = 1 або всі \Alpha_i = - 1 тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці x \in D. Якщо один з коефіцієнтів \Alpha_i від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли l, \, 1 < l < n - 1 коефіцієнтів \Alpha_i — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа k_0 і k_1 однакового знаку такі, що

k_0\sum\limits_{i = 1}^m \lambda_i^2 \leqslant Q(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) \leqslant k_1 \sum\limits_{i = 1}^m \lambda_i^2

для всіх x \in D. Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області. У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто. Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:

A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+...=0,

де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: {\partial u}/{\partial x} і {\partial u}/{\partial y}. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.

Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта D=B^2 - AC, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

  1. D = B^2 - AC \, > 0Гіперболічне рівняння
  2. D = B^2 - AC \, < 0Еліптичне рівняння
  3. D = B^2 - AC \, = 0Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).

У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.

Існування і єдиність розвязку[ред.ред. код]

Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розвязок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.

Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:

 \frac{\part^2 u}{\partial x^2} + \frac{\part^2 u}{\partial y^2}=0,\,

з початковими умовами:

u(x,0) = 0, \,
 \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin n x}{n},\,

де nціле число. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є

u(x,y) = \frac{(\sinh ny)(\sin nx)}{n^2}.\,

Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно \pi для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.

Приклади[ред.ред. код]

Одновимірне рівняння теплопровідності[ред.ред. код]

Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд

\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,

де u(t,x) - температура, і \alpha — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

u(0,x)\,= f(x),

де f(x) — довільна функція.

Рівняння коливання струни[ред.ред. код]

  • \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

 u(0,x)= f(x) \,
 u_t(0,x) = g(x) \,

Двовимірне рівняння Лапласа[ред.ред. код]

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

  • \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0

Його розв'язки називаються гармонічними функціями.

Зв'язок з аналітичними функціями[ред.ред. код]

Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції f комплексної змінної z=x+iy є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y},\,

Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0. \,

Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.

Граничні умови[ред.ред. код]

Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області \partial S — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:

Рівняння Гінзбурга — Ландау[ред.ред. код]

Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд

\frac{\partial }{\partial t} A(x,t) =A + (1+ib) \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} - (1+ic)|A|^2A.

Розвязок рівнянь математичної фізики[ред.ред. код]

Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:

  • аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
  • чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.

Аналітичний розв'язок[ред.ред. код]

Рівняння коливань[ред.ред. код]

Розглянемо задачу про коливання струни довжини L. Вважатимемо, що на кінцях струни функція u(x,t) набуває значення нуль:

u(x,t)\big|_{x=0}=u(x,t)\big|_{x=L}=0

У початковий момент часу задамо початкові умови:

u(x,t)\big|_{t=0}=f(x)
\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)\big|_{t=0}=g(x)

Представимо розв'язок у вигляді:

u(x,t)\,=X(x)T(t)

Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток X(x)T(t) одержуємо:

\dfrac{T''(t)}{a^2 T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}

Права частина цього рівняння залежить від t, ліва — від x, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через -\lambda^2:

\dfrac{T''(t)}{a^2 T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda^2

Звідси знаходимо рівняння для X(x):

X''(x)+\lambda^2 X(x)\,=0

Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при \lambda=\dfrac{\pi n}{L} і мають вигляд:

X_n(x)\,=sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)

Розглянемо рівняння для знаходження T(t):

T''(t)+a^2\lambda_n^2 T(t)\,=0

Його розв'язок:

T(t)\,=A_n cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)

Отже, кожна функція вигляду

u(x,t)\,=\left[A_n cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)\right]sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:

u(x,t)\,=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[A_n cos\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)+B_n sin\left(\dfrac{a\pi n}{L}t\right)\right]sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)

Підстановка в початкові умови дає:

\sum\limits_{n=0}^{\infty}A_n sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)=f(x),\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{a\pi n}{L}B_n sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)=g(x)

Останні формули є розкладом функцій f(x) і g(x) у ряд Фур'є на відрізку [0,L]. Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:

A_n=\dfrac{2}{L}\int\limits_{0}^{L}f(x)sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)dx,\quad B_n=\dfrac{2}{n\pi a}\int\limits_{0}^{L}g(x)sin\left(\dfrac{\pi n x}{L}\right)dx

Чисельний розв'язок[ред.ред. код]

Рівняння коливань струни[ред.ред. код]

Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць. Цей метод заснований на визначенні похідної функції y = y(x):

~y'= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}{{f(x + \Delta x)} - f(x) \over \Delta x}

Якщо є функція u = u(x,t), то часткова похідна буде наступна:

~u_x' = {\partial u \over \partial x} = \lim_{\Delta x \to 0}{{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}

Оскільки \Delta x ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:

~u_x' \approx {{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}
~u_t' \approx {{u(x, t + \Delta t) - u(x,t)} \over \Delta t}




u(x,t) = u_i^j
u(x + \Delta x,t) = u_{i+1}^j
u(x,t + \Delta t) = u_i^{j+1}
\Delta x = h,
\Delta t = \tau

Тоді попередні вирази можна записати так: u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}, u_t' \approx {{u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}

Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j} \over h}, u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1}} \over \tau} - це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:

2 u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j + u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}
2 u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1} + u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}

з яких одержується:

u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_{i-1}^j} \over 2h}
u_t' \approx {{u_i^{j+1} - u_i^{j-1}} \over 2\tau}

Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:

u_{xx}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} \approx {{u_{i-1}^j - 2u_i^j + u_{i+1}^j} \over h^2}
u_{tt}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} \approx {{u_i^{j-1} - 2u_i^j + u_i^{j+1}} \over \tau ^2}

Рівняння коливань струни записується в такій формі: \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

Додаткові умови задаються у вигляді: u|_{x=0} = f_1(t), u|_{x=l} = f_2(t), u|_{t=0} = g_1(x), u_t|_{t=0} = g_2(x),

де f_1(t) і f_2(t) — позиції кінців (кріплень) струни в часі
а g_1(x) і g_2(x) — початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою
u_i^{j+1} = \tau \cdot g_2(x) + u_i^j.

У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких h.

Значення функції для інших x і t можна обчислити з рівняння коливань струни:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
{{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} = {{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2}
{{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} = {{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}
{{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2} = a^2{{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}
u_i^{j+1} = {{\tau ^2 a^2 \over h^2}} \left( u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j \right) + 2u_i^j - u_i^{j-1}

Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких x і t, використовуючи значення функції при попередніх x і t.

Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності \Theta (\tau ^2 + h^2). Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали h < 0.1 і \tau \le {h^2 \over 2}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
  • Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
  • Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
  • Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
  • Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
  • Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
  • John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
  • Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
  • Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .