Диференціальний оператор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціальний оператор (взагалі кажучи, не неперервний, не обмежений і не лінійний) - оператор, визначений деяким диференціальним виразом і діючий в просторах (взагалі кажучи, векторнозначних) функцій (або перетинів диференційовних розшарувань) на диференційовних многовидах, або в просторах, спряжених до просторів цього типу.

Диференціальний вираз — це таке відображення \lambda множини \mathfrak P у просторі перетинів розшарування \xi з базою M у простір перетинів розшарування \eta з тією ж сомаю базою, что для будь-якої точки p\in M і будь-яких перетинів f,\;g\in\mathfrak P з збігів їх k-струй у точці p слідує співпадіння \lambda f і g у тій же точці; найменше з чисел k, що задовольняють цій умові для всіх p\in M, називається порядком диференціального виразу і порядком диференціального оператора, визначеного цим виразом.

На многовиді M без краю диференціальний оператор часто є розширенням оператора, природно обумовленого фіксованим диференціальним виразом на деякій (відкритій в підходящій топології) множині нескінченно (або досить багато разів) диференційовних перетинів даного векторного розшарування \xi з базою M і, таким чином, допускає природне узагальнення на випадок пучків ростків перетинів диференційовних розшарувань. На многовиді M з краєм \partial M диференціальний оператор L часто визначається як розширення аналогічного оператора, природно певного диференціальним виразом на множині тих диференційовних функцій (або перетинів розшарування), обмеження яких на \partial M лежать у ядрі деякого диференціального оператора l на \partial M (або задовольняє будь-яким іншим умовам, визначеним тими чи іншими вимогами до області значень оператора l на обмеженнях функццій з області визначення оператора L, наприклад, нерівностями); диференціальний оператор l називається таким, що визначає граничні умови для диференціального оператора L. Лінійні диференціальні оператори в просторах, спряжених до просторів функцій (або перетинів), визначаються як оператори, зв'язані до диференціальних операторів, зазначеного вище виду у цих просторах.