Диференціальні рівняння

Візуалізація повітряного потоку з рівняння Нав'є-Стокса

Ісаак Ньютон

Ґотфрід Лейбніц

Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння з частинними похідними. Складнішими є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Історія

Леонард Ейлер

Жозеф-Луї Лагранж

П'єр-Симон Лаплас

Жозеф Ліувілль

Анрі Пуанкаре

Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642–1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, смисл якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».

Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступеневі ряди (смисл другої, довгої анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння потрібно підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового степеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540–1603), але і, що особливо важливе, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав в «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту і логарифм). Це, разом з складеною ним таблицею первісних (яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».

Ньютон указував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв'язок між коефіцієнтами ряду і похідними був скоріше засобом обчислення похідних, чим засобом складання ряду. Одним з найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» («Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635–1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.

З величезного числа робіт XVIII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707–1783) і Лагранжа (1736–1813). У цих роботах була передусім розвинена теорія малих коливань, а отже — теорія лінійних систем диференціальних рівнянь; попутно виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа і вектори в n-мірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збурення планетних орбіт згідно з теорією малих коливань Лагранжа. Услід за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777–1855) розвивають також методи теорії збуджень.

Коли була доведена нерозв'язність алгебраїчних рівнянь в радикалах, Жозеф Ліувілль (1809–1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість рішення низки рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурі. Пізніше Софус Лі (1842–1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь в квадратурі, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім'я груп Лі) — так з теорії диференціальних рівнянь виникла одна з найплідніших областей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов'язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Сімеон-Дені Пуассон (1781–1840) і, особливо, Карл Густав Якоб Якобі (1804–1851)).

Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь починається з робіт Анрі Пуанкаре (1854–1912), створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом з теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як тепер її частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається найактивніше і має найважливіші застосування теорії диференціальних рівнянь в природознавстві.

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду $F(t,x,x',x'',...,x^{(n)})=0$, де $x=x(t)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу $t$, штрих означає диференціювання по $t$. Число $n$ називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язком (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, що диференціюється n разів, і задовольняє рівнянню в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла множина таких функцій, і для вибору однієї з них на розв'язок потрібно накласти додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймало в певній точці певне значення.

Основні завдання і результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність рішення різних задач для ЗДР, методи розв'язання простих ЗДР, якісне дослідження рішень ЗДР без знаходження їхнього явного вигляду.

Диференціальні рівняння в частинних похідних

Диференціальні рівняння в частинних похідних — це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх частинних похідних.

Загальний вид таких рівнянь можна представити у вигляді:

$F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)=0$,

де $x_1, x_2,\dots, x_m$ — незалежні змінні, а $z\!$ — функція цих змінних.

Нелінійні диференціальні рівняння

Нелінійні диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування нелінійних рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія нелінійних диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках: механіці, фізиці, термопружності, оптиці.

Нелінійне диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. В самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні в нелінійному виді. Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні нелінійні диференціальні рівняння і нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних.

Нелінійні диференціальні рівняння виникли із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Точні розв'язки

Деякі диференційні рівняння мають розв'язки, що можна подати точною формулою. Такі класи рівнянь подані нижче.

В таблиці, H(x), Z(x), H(y), Z(y), чи H(x,y), Z(x,y) — довільні інтегровні функції від x чи y (або від обидвох параметрів), a A, B, C, I, L, N, M — константи. В загальному A, B, C, I, L, є дійсними числами, а N, M, P та Q можуть бути комплексними. Диференційні рівняння подані в альтернативній формі, що дозволяє їх розв'язати методом інтегрування.

	Диференційні рівняння	Загальний розв'язок
1	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(x) \, \mathrm{d}x\,\!$	$y=\int F(x) \, \mathrm{d}x\,\!$
2	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(y)\,\!$ $\mathrm{d}y= F(y) \, \mathrm{d}x\,\!$	$x=\int \frac{\mathrm{d}y}{F(y)}\,\!$
3	$H(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Z(x)= 0\,\!$ $H(y) \, \mathrm{d}y+ Z(x) \, \mathrm{d}x =0\,\!$	$\int H(y) \, {\mathrm{d}y}+\int Z(x) \, {\mathrm{d}x} = C\,\!$
4	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + H(x)y+Z(x)= 0\,\!$ $\mathrm{d}y + H(x)y \, \mathrm{d}x+Z(x) \, \mathrm{d}x= 0\,\!$	$y = - e^{ - \int H(x) \, \mathrm{d}x} \int e^{ \int H(x) \mathrm{d}x}Z(x) \, {\mathrm{d}x}\,\!$
5	$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!$	$\ln Cx = \int \frac{ \mathrm{d} r}{F(r) - r} \, \!$ розв'язком може бути неявна фунція від x та y, отримана обчисленням наведеного інтегралу використовуючи заміну змінних $r = y/x \,\!$
6	$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = F(y) \,\!$	$x = \pm \int \frac{ \mathrm{d} y}{\sqrt{2 \int F(y) \, \mathrm{d} y + C_1}} + C_2 \, \!$
7	$H(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Z(x,y) = 0 \,\!$ $H(x,y) \, {\mathrm{d}y} + Z(x,y) \, {\mathrm{d}x} = 0 \,\!$	Якщо ДР є точним, тобто $\frac{\partial H}{\partial x} = \frac{\partial Z}{\partial y} \, \!$ тоді розв'язок задається формулою: $F(x,y) = \int \left [ H(x,y) \, \mathrm{d} y + Z(x,y) \, \mathrm{d} x \right ] + \gamma (y) + \chi (x) = C \, \!$ де $\gamma (y) \,\!$ та $\chi (x) \,\!$ — певні функції, залежні від інтегралів, що дозволяють коректно визначити функцію $F(x,y) \,\!$ hold. Якщо рівняння не є точним, з функцій H(x,y) та Z(x,y) можна визначити інтегральний множник, після домноження рівняння на який воно розв'язується аналогічно до точного.
8	$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + I\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Ly = 0\,\!$	Якщо $I^2 > 4L\,\!$ тоді $y=Ne^{ \left ( -I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}} + Me^{-\left ( I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}}\,\!$ Якщо $I^2 = 4L\,\!$ тоді $y = (Ax + B)e^{-Ix/2}\,\!$ Якщо $I^2 < 4L\,\!$ тоді $y = e^{ -I\frac{x}{2}} \left [ P \sin{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} + Q\cos{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ] \,\!$
9	$\sum_{\alpha=1}^d I_{\alpha} \frac{\mathrm{d}^\alpha y}{\mathrm{d}x^\alpha} = 0\,\!$	$\sum_{\alpha=1}^d A_{\alpha} e^{B_{\alpha} x} = 0 \,\!$ де $B_{\alpha} \,\!$ — d розв'зки поліному степеня d: $\prod_{\alpha=1}^d \left ( B - B_{\alpha} \right ) = 0 \,\!$

Зауважте, що 3 і 4 є частковими випадками 7, вони досить поширені і презентовані для повноти.

Також 8 рівняння є частковим випадком 9, але 8 досить поширена форма рівнянь, особливо у простих фізичних та інженерних задачах.

Приклади

• Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння

$m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$,

де $m$ — маса тіла, $x$ — його координата, $F(x,t)$ — сила, діюча на тіло з координатою $x$ у момент часу $t$. Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.

• Коливання струни задається рівнянням

$\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$,

де $u=u(x,t)$ — відхилення струни в точці з координатою $x$ у момент часу $t$, параметр $a$ задає властивості струни.

Див. також

• Асимптотично еквівалентні системи

Література

1. Ф. С. Гудименко (1958 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Видавництво Київського державного університету. 
2. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М. 2000