Диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Візуалізація повітряного потоку з рівняння Нав'є-Стокса

Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння з частинними похідними. Складнішими є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів від відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Історія[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642–1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, смисл якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».

Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступеневі ряди (смисл другої, довгої анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння потрібно підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового степеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540–1603), але і, що особливо важливе, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав в «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту і логарифм). Це, разом з складеною ним таблицею первісних (яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».

Ньютон указував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв'язок між коефіцієнтами ряду і похідними був скоріше засобом обчислення похідних, чим засобом складання ряду. Одним з найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» («Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635–1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.

З величезного числа робіт XVIII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707–1783) і Лагранжа (1736–1813). У цих роботах була передусім розвинена теорія малих коливань, а отже — теорія лінійних систем диференціальних рівнянь; попутно виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа і вектори в n-мірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збурення планетних орбіт згідно з теорією малих коливань Лагранжа. Услід за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777–1855) розвивають також методи теорії збуджень.

Коли була доведена нерозв'язність алгебраїчних рівнянь в радикалах, Жозеф Ліувілль (1809–1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість рішення низки рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурі. Пізніше Софус Лі (1842–1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь в квадратурі, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім'я груп Лі) — так з теорії диференціальних рівнянь виникла одна з найплідніших областей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов'язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Сімеон-Дені Пуассон (1781–1840) і, особливо, Карл Густав Якоб Якобі (1804–1851)).

Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь починається з робіт Анрі Пуанкаре (1854–1912), створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом з теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як тепер її частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається найактивніше і має найважливіші застосування теорії диференціальних рівнянь в природознавстві.

Звичайні диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду F(t,x,x',x'',...,x^{(n)})=0, де x=x(t) — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу t, штрих означає диференціювання по t. Число n називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язком (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, що диференціюється n разів, і задовольняє рівнянню в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла множина таких функцій, і для вибору однієї з них на розв'язок потрібно накласти додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймало в певній точці певне значення.

Основні завдання і результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність рішення різних задач для ЗДР, методи розв'язання простих ЗДР, якісне дослідження рішень ЗДР без знаходження їхнього явного вигляду.

Диференціальні рівняння в частинних похідних[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння в частинних похідних — це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх частинних похідних.

Загальний вид таких рівнянь можна представити у вигляді:

F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)=0,

де x_1, x_2,\dots, x_m — незалежні змінні, а z\! — функція цих змінних.

Нелінійні диференціальні рівняння[ред.ред. код]

Нелінійні диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування нелінійних рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія нелінійних диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках: механіці, фізиці, термопружності, оптиці.

Нелінійне диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. В самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні в нелінійному виді. Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні нелінійні диференціальні рівняння і нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних.

Нелінійні диференціальні рівняння виникли із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Точні розв'язки[ред.ред. код]

Деякі диференційні рівняння мають розв'язки, що можна подати точною формулою. Такі класи рівнянь подані нижче.

В таблиці, H(x), Z(x), H(y), Z(y), чи H(x,y), Z(x,y) — довільні інтегровні функції від x чи y (або від обидвох параметрів), a A, B, C, I, L, N, M — константи. В загальному A, B, C, I, L, є дійсними числами, а N, M, P та Q можуть бути комплексними. Диференційні рівняння подані в альтернативній формі, що дозволяє їх розв'язати методом інтегрування.

Диференційні рівняння Загальний розв'язок
1 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x)\,\!

\mathrm{d}y= F(x) \, \mathrm{d}x\,\!

y=\int F(x) \, \mathrm{d}x\,\!
2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(y)\,\!

\mathrm{d}y= F(y) \, \mathrm{d}x\,\!

x=\int \frac{\mathrm{d}y}{F(y)}\,\!
3 H(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Z(x)= 0\,\!

H(y) \, \mathrm{d}y+ Z(x) \, \mathrm{d}x =0\,\!

\int H(y) \, {\mathrm{d}y}+\int Z(x) \, {\mathrm{d}x} = C\,\!
4 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + H(x)y+Z(x)= 0\,\!

\mathrm{d}y + H(x)y \, \mathrm{d}x+Z(x) \, \mathrm{d}x= 0\,\!

y = - e^{ - \int H(x) \, \mathrm{d}x} \int e^{ \int H(x) \mathrm{d}x}Z(x) \, {\mathrm{d}x}\,\!
5 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!  \ln Cx = \int \frac{ \mathrm{d} r}{F(r) - r} \, \!

розв'язком може бути неявна фунція від x та y, отримана обчисленням наведеного інтегралу використовуючи заміну змінних  r = y/x \,\!

6 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = F(y) \,\!  x = \pm \int \frac{ \mathrm{d} y}{\sqrt{2 \int F(y) \, \mathrm{d} y + C_1}} + C_2 \, \!
7  H(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Z(x,y) = 0 \,\!

 H(x,y) \, {\mathrm{d}y} + Z(x,y) \, {\mathrm{d}x} = 0 \,\!

Якщо ДР є точним, тобто  \frac{\partial H}{\partial x} = \frac{\partial Z}{\partial y} \, \!

тоді розв'язок задається формулою:

 F(x,y) = \int \left [ H(x,y) \, \mathrm{d} y + Z(x,y) \, \mathrm{d} x \right ] + \gamma (y) + \chi (x) = C \, \!

де  \gamma (y) \,\! та  \chi (x) \,\!  — певні функції, залежні від інтегралів, що дозволяють коректно визначити функцію  F(x,y) \,\! hold.

Якщо рівняння не є точним, з функцій H(x,y) та Z(x,y) можна визначити інтегральний множник, після домноження рівняння на який воно розв'язується аналогічно до точного.

8 \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + I\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Ly = 0\,\!

Якщо I^2 > 4L\,\!

тоді y=Ne^{ \left ( -I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}} + Me^{-\left ( I+\sqrt{I^2 - 4L} \right )\frac{x}{2}}\,\!


Якщо I^2 = 4L\,\!

тоді y = (Ax + B)e^{-Ix/2}\,\!


Якщо I^2 < 4L\,\!

тоді  y = e^{ -I\frac{x}{2}} \left [ P \sin{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} + Q\cos{\left ( \sqrt{\left | I^2-4L \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ]  \,\!

9  \sum_{\alpha=1}^d I_{\alpha} \frac{\mathrm{d}^\alpha y}{\mathrm{d}x^\alpha} = 0\,\!

 \sum_{\alpha=1}^d A_{\alpha} e^{B_{\alpha} x} = 0 \,\!


де  B_{\alpha} \,\! — d розв'зки поліному степеня d:


 \prod_{\alpha=1}^d \left ( B - B_{\alpha} \right ) = 0 \,\!


Зауважте, що 3 і 4 є частковими випадками 7, вони досить поширені і презентовані для повноти.

Також 8 рівняння є частковим випадком 9, але 8 досить поширена форма рівнянь, особливо у простих фізичних та інженерних задачах.

Приклади[ред.ред. код]

m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t),

де m — маса тіла, x — його координата, F(x,t) — сила, діюча на тіло з координатою x у момент часу t. Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.

  • Коливання струни задається рівнянням
\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},

де u=u(x,t) — відхилення струни в точці з координатою x у момент часу t, параметр a задає властивості струни.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. Ф. С. Гудименко (1958 р.). Диференціальні рівняння. Київ: Видавництво Київського державного університету. 
  2. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М. 2000


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналіз