Диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Візуалізація повітряного потоку з рівняння Нав'є-Стокса

Ісаак Ньютон

Ґотфрід Лейбніц

Диференціальні рівняння (рос. дифференциальные уравнения, англ. differential equations; нім. Differentialgleichungen pl, яп. 微分方程式) — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці.

Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в частинних похідних. Більш складними є інтегро-диференціальні рівняння.

Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

Зміст

1 Історія
2 Звичайні диференціальні рівняння
3 Диференціальні рівняння в частинних похідних
4 Нелінійні диференціальні рівняння
5 Приклади
6 Література

[ред.] Історія

Диференціальні рівняння винайдені Ньютоном (1642-1727). Ньютон вважав цей свій винахід настільки важливим, що зашифрував його у вигляді анаграми, смисл якої в сучасних термінах можна вільно передати так: «закони природи виражаються диференціальними рівняннями».

Основним аналітичним досягненням Ньютона було розкладання всіляких функцій в ступеневі ряди (смисл другої, довгої анаграми Ньютона в тому, що для вирішення будь-якого рівняння потрібно підставити в рівняння ряд і прирівняти члени однакового ступеня). Особливе значення мала тут відкрита ним формула бінома Ньютона (зрозуміло, не тільки з цілими показниками, для яких формулу знав, наприклад, Вієт (1540-1603), але і, що особливо важливе, з дробовими і негативними показниками). Ньютон розклав в «ряди Тейлора» всі основні елементарні функції (раціональні, радикали, тригонометричні, експоненту і логарифм). Це, разом з складеною ним таблицею первісних (яка перейшла в майже незмінному вигляді в сучасні підручники аналізу), дозволяло йому, за його словами, порівнювати площі будь-яких фігур «за половину чверті години».

Ньютон указував, що коефіцієнти його рядів пропорційні послідовним похідним функції, але не зупинявся на цьому детально, оскільки він справедливо вважав, що всі обчислення в аналізі зручніше проводити не за допомогою кратних диференціювань, а шляхом обчислення перших членів ряду. Для Ньютона зв'язок між коефіцієнтами ряду і похідними був скоріше засобом обчислення похідних, чим засобом складання ряду. Одним з найважливіших досягнень Ньютона є його теорія сонячної системи, викладена в «Математичних принципах натуральної філософії» («Principia») без допомоги математичного аналізу. Зазвичай вважають, що Ньютон відкрив за допомогою свого аналізу закон всесвітнього тяжіння. Насправді Ньютону (1680) належить лише доказ еліптичності орбіт в полі тяжіння за законом зворотних квадратів: сам цей закон був вказаний Ньютону Гуком (1635-1703) і, мабуть, вгадувався ще декількома вченими.

З «Principia» Ньютона починається сучасна фізика. Завершення формування аналізу як самостійної наукової дисципліни пов'язано з ім'ям Лейбніца (1646-1716). Величезною заслугою Лейбніца є також широка пропаганда аналізу (перша публікація — стаття 1684 р.) і доведення його алгоритмів до повного автоматизму: він винайшов таким чином спосіб навчити користуватися аналізом (і викладати його) людей, що зовсім не його розуміють, — тенденція, з якою доводиться боротися ще і сьогодні. Між іншим, Лейбніцу належать поняття матриці, позначення її елементів через букви-індекси, а також зачатки теорії визначників і теорії систем лінійних рівнянь, одна з перших обчислювальних машин.

З величезного числа робіт XVIII століття з диференціальних рівнянь виділяються роботи Ейлера (1707-1783) і Лагранжа (1736-1813). У цих роботах була передусім розвинена теорія малих коливань, а отже — теорія лінійних систем диференціальних рівнянь; попутно виникли основні поняття лінійної алгебри (власні числа і вектори в n-мірному випадку). Характеристичне рівняння лінійного оператора довго називали секулярним, оскільки саме з такого рівняння визначаються секулярні (вікові, тобто повільні в порівнянні з річним рухом) збудження планетних орбіт згідно теорії малих коливань Лагранжа. Услід за Ньютоном Лаплас і Лагранж, а пізніше Гаус (1777-1855) розвивають також методи теорії збуджень.

Коли була доведена нерозв'язність алгебраїчних рівнянь в радикалах, Жозеф Ліувілль (1809-1882) побудував аналогічну теорію для диференціальних рівнянь, встановивши неможливість рішення низки рівнянь (зокрема таких класичних, як лінійні рівняння другого порядку) в елементарних функціях і квадратурі. Пізніше Софус Лі (1842-1899), аналізуючи питання про інтегрування рівнянь в квадратурі, прийшов до необхідності детально досліджувати групи дифеоморфізмів (що отримали згодом ім'я груп Лі) — так з теорії диференціальних рівнянь виникла одна з найбільш плідних областей сучасної математики, подальший розвиток якої був тісно пов'язаний зовсім з іншими питаннями (алгебри Лі ще раніше розглядали Сімеон-Дені Пуассон (1781-1840) і, особливо, Карл Густав Якоб Якобі (1804-1851)).

Новий етап розвитку теорії диференціальних рівнянь починається з робіт Анрі Пуанкаре (1854-1912), створена ним «якісна теорія диференціальних рівнянь» разом з теорією функцій комплексних змінних привела до заснування сучасної топології. Якісна теорія диференціальних рівнянь, або, як тепер її частіше називають, теорія динамічних систем, зараз розвивається найактивніше і має найбільш важливі застосування теорії диференціальних рівнянь в природознавстві.

[ред.] Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — це рівняння виду $F (t, x, x', x'',..., x (n)) = 0$ , де $x = x (t)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної часу $t$ , штрих означає диференціювання по $t$ . Число $n$ називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язкою (або рішенням) диференціального рівняння називається функція, що диференціюється n разів, і задовольняє рівнянню в усіх точках своєї області визначення. Зазвичай існує ціла множина таких функцій, і для вибору одної з розв'язок потрібно накласти на неї додаткові умови: наприклад, вимагати, щоб рішення приймало в певній точці певне значення.

Основні завдання і результати теорії диференціальних рівнянь: існування і єдиність рішення різних задач для ЗДР, методи роз'язання простих ЗДР, якісне дослідження рішень ЗДР без знаходження їхнього явного вигляду.

[ред.] Диференціальні рівняння в частинних похідних

Диференціальні рівняння в частинних похідних — це рівняння, що містять невідомі функції від декількох змінних та їх частинних похідних.

Загальний вид таких рівнянь можна представити у вигляді:

$F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)=0$ ,

де $x_1, x_2,\dots, x_m$ — незалежні змінні, а $z\!$ — функція цих змінних.

[ред.] Нелінійні диференціальні рівняння

Докладніше у статті: Нелінійні диференціальні рівняння

Нелінійні диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування нелінійних рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні нелінійні диференціальні) чи кількох аргументів (нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів.

Теорія нелінійних диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках: механіці, фізиці,термопружності, оптиці.

Нелінійне диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. В самому диференціальному рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні в нелінійному виді. Нелінійним диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін.

Розрізняють звичайні нелінійні диференціальні рівняння і нелійні диференціальні рівняння в частинних похідних.

Нелінійні диференціальні рівняння виникли із задач нелінійної механіки, в яких брали участь координати тіл, їх швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу.

[ред.] Приклади

Другий закон Ньютона можна записати у формі диференціального рівняння

$m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$ ,

де $m$ — маса тіла, $x$ — його координата, $F (x, t)$ — сила, діюча на тіло з координатою $x$ у момент часу $t$ . Його розв'язком є траєкторія руху тіла під дією вказаної сили.

Коливання струни задається рівнянням

$\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ,

де $u = u (x, t)$ — відхилення струни в точці з координатою $x$ у момент часу $t$ , параметр $a$ задає властивості струни.

[ред.] Література

У Вікіпедії є портал

«Математика»

Ф. С. Гудименко. Диференціальні рівняння (1958 р.), Київ: Видавництво Київського державного університету.
В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М. 2000

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Основні розділи Математики

Алгебра • Дискретна математика • Диференціальні рівняння • Геометрія • Комбінаторика • Лінійна алгебра • Математична логіка • Математична статистика • Математичний аналіз • Теорія ймовірностей • Теорія множин • Теорія чисел • Тригонометрія • Топологія • Функціональний аналіз

Диференціальні рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Історія

[ред.] Звичайні диференціальні рівняння

[ред.] Диференціальні рівняння в частинних похідних

[ред.] Нелінійні диференціальні рівняння

[ред.] Приклади

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами