Диференціал (диференціальна геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Необхідні знання[ред.ред. код]

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення[ред.ред. код]

Зазвичай диференціал f позначається df. Деякі автори вважають за краще позначати \operatorname{d}f шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці x позначається d_xf, а інколи df_x або df[x]. (d_xf є лінійна функція на дотичному просторі у точці x.)

Якщо v є дотичним вектором у точці x, то значення диференціала на v зазвичай позначають df(v), у цьому позначення x зайве, але позначення d_xf(v), df_x(v) і df[x](v) також провомірні.

Використовується так само позначення f_*; останнє зв'язане з тим, що диференціал f\colon M\to N є єдиним підняттям f на кодотичні розшарування до многовидів M і N.

Означення[ред.ред. код]

Для дійснозначних функцій[ред.ред. код]

Нехай M — гладкий многовид і f\colon M\to \R гладка функція. Диференціал f являє собою 1-форму на M, що зазвичай позначається df і визначається наступним співвідношенням

df(X)=d_pf(X)=X f,

де X f позначає похідну f за напрямком дотичного вектора X у точці p\in M.

Для відображень гладких многовидів[ред.ред. код]

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид F\colon M\to N є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, dF\colon TM\to TN, таким що для будь-якої гладкої функції g\colon N\to\R маємо

[dF(X)]g=X(g\circ F),

де Xf позначає похідну f за напрямком X. (У лівій частині рівності береться похідна у N функції g за dF(X); у правій — в M функції g\circ F за X).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Точка x многовиду M називається критичною точкою відображення f: M \to N, якщо диференціал d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
    • У цьому випадку f(x) називається критичним значенням f.
    • Точка y \in N називається регулярною, якщо вона не є критичною.
  • Гладке відображення F\colon M\to N називається субмерсією, якщо для будь-якої точки x\in M, диференціал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N сюр'єктивен.
  • Гладке відображення F\colon M\to N називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки x\in M, диференціал d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N ін'єктивен.

Властивості[ред.ред. код]

  • Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:
    d(F\circ G)=dF\circ dG или d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай у відкритій множині \Omega\subset\R задана гладка функція f\colon \Omega\to\R. Тоді df=f'\,dx, де f' позначає похідну f, а dx є сталою формою, що визначається dx(V)=V.
  • Нехай у відкритій множині \Omega\subset\R^n задана гладка функція f\colon\Omega\to\R. Тоді df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i. Форма dx_i може бути визначена співвідношенням dx_i(V)=v_i, для вектора V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n).
  • Нехай у відкритій множині \Omega\subset\R^n задано гладке відображення F\colon\Omega\to\R^m. Тоді
    d_xF(v)=J(x)v,
де J(x) є матрицею Якобі відображення F у точці x.

Див. також[ред.ред. код]