Диференціал (диференціальна геометрія)

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Необхідні знання

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення

Зазвичай диференціал $f$ позначається $df$. Деякі автори вважають за краще позначати $\operatorname{d}f$ шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці $x$ позначається $d_xf$, а інколи $df_x$ або $df[x]$. ($d_xf$ є лінійна функція на дотичному просторі у точці $x$.)

Якщо $v$ є дотичним вектором у точці $x$, то значення диференціала на $v$ зазвичай позначають $df(v)$, у цьому позначення $x$ зайве, але позначення $d_xf(v)$, $df_x(v)$ і $df[x](v)$ також провомірні.

Використовується так само позначення $f_*$; останнє зв'язане з тим, що диференціал $f\colon M\to N$ є єдиним підняттям $f$ на кодотичні розшарування до многовидів $M$ і $N$.

Означення

Для дійснозначних функцій

Нехай $M$ — гладкий многовид і $f\colon M\to \R$ гладка функція. Диференціал $f$ являє собою 1-форму на $M$, що зазвичай позначається $df$ і визначається наступним співвідношенням

$df(X)=d_pf(X)=X f,$

де $X f$ позначає похідну $f$ за напрямком дотичного вектора $X$ у точці $p\in M$.

Для відображень гладких многовидів

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид $F\colon M\to N$ є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, $dF\colon TM\to TN$, таким що для будь-якої гладкої функції $g\colon N\to\R$ маємо

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

де $Xf$ позначає похідну $f$ за напрямком $X$. (У лівій частині рівності береться похідна у $N$ функції $g$ за $dF(X)$; у правій — в $M$ функції $g\circ F$ за $X$).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення

• Точка $x$ многовиду $M$ називається критичною точкою відображення $f: M \to N$, якщо диференціал $d_x f: T_x M \to T_{f(x)} N$ не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
  • У цьому випадку $f(x)$ називається критичним значенням $f$.
  • Точка $y \in N$ називається регулярною, якщо вона не є критичною.
• Гладке відображення $F\colon M\to N$ називається субмерсією, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ сюр'єктивен.
• Гладке відображення $F\colon M\to N$ називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки $x\in M$, диференціал $d_xF\colon T_xM\to T_{F(x)}N$ ін'єктивен.

Властивості

• Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_xG$

Приклади

• Нехай у відкритій множині $\Omega\subset\R$ задана гладка функція $f\colon \Omega\to\R$. Тоді $df=f'\,dx$, де $f'$ позначає похідну $f$, а $dx$ є сталою формою, що визначається $dx(V)=V$.
• Нехай у відкритій множині $\Omega\subset\R^n$ задана гладка функція $f\colon\Omega\to\R$. Тоді $df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i$. Форма $dx_i$ може бути визначена співвідношенням $dx_i(V)=v_i$, для вектора $V=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n)$.
• Нехай у відкритій множині $\Omega\subset\R^n$ задано гладке відображення $F\colon\Omega\to\R^m$. Тоді

  $d_xF(v)=J(x)v,$

де $J(x)$ є матрицею Якобі відображення $F$ у точці $x$.

Див. також

• Кодиференціал (диференціальна геометрія)