Диференційовна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нехай функція y = f(x) визначена в деякому околі точки x_0 і нехай \Delta x = x - x_0. Функція f називається диференційовною в точці x_0 (англ. differentiable), якщо приріст \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) можна представити у вигляді:

\Delta y = A\Delta x + \alpha(\Delta x).

де:

A — стала. При фіксованій x_0 A не залежить від \Delta x; але, при зміні x_0, взагалі кажучи, A також змінюється,
\alpha(\Delta x) = o(\Delta x) при x \to 0.

Лінійна функція A\Delta x (від \Delta x) називається диференціалом функції в точці x_0 і позначається df(x_0), або, коротше dy.

Таким чином:

\Delta y = dy + o(\Delta x) при \Delta x \to 0,
dy = A\Delta x.

Властивості[ред.ред. код]

Для того, аби функція f була диференційовна в деякій точці x_0, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

dy = f'(x_0)dx.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Джерела інформації[ред.ред. код]

Дивіться також[ред.ред. код]