Диференційовна функція

Нехай функція $y = f(x)$ визначена в деякому околі точки $x_0$ і нехай $\Delta x = x - x_0$. Функція $f$ називається диференційовною в точці $x_0$ (англ. differentiable), якщо приріст $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ можна представити у вигляді:

$\Delta y = A\Delta x + \alpha(\Delta x)$.

де:

$A$ — стала. При фіксованій $x_0$ A не залежить від $\Delta x$; але, при зміні $x_0$, взагалі кажучи, A також змінюється,

$\alpha(\Delta x) = o(\Delta x)$ при $x \to 0$.

Лінійна функція $A\Delta x$ (від $\Delta x$) називається диференціалом функції в точці $x_0$ і позначається $df(x_0)$, або, коротше $dy$.

Таким чином:

$\Delta y = dy + o(\Delta x)$ при $\Delta x \to 0$,

$dy = A\Delta x$.

Властивості

Для того, аби функція $f$ була диференційовна в деякій точці $x_0$, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

$dy = f'(x_0)dx$.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Джерела інформації

• Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 1. с. 124—127. 

Дивіться також

• Похідна
• Інтегровна функція