Добуток Кронекера

Добуток Кронекера — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається $\otimes$. Результатом є блочна матриця.

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

$A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.$

Білінійність, асоціативність та некомутативність

• Добуток Кронекера є частковим випадком тензорного добутку, отже він є білінійним та асоціативним:

$A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,$

$(A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,$

$(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),$

$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),$

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

• Добуток Кронекера не є комутативним. Хоча, завжди існують такі матриці перестановки P та Q, що

$A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.$

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A $\otimes$ B та B $\otimes$ A є перестановочно подібними, тобто, P = Q^T.

Транспонування

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.$

Мішаний добуток

• Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

$(A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.$

• A $\otimes$ B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

$(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.$

Сума та експонента Кронекера

• Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і $I_k$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера $\oplus$, як

$A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.$

• Також справедливо

$e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.$

Спектр, слід та визначник

• Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ₁, ..., λ_n — власні значення матриці A та μ₁, ..., μ_q власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A $\otimes$ B є

$\lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.$

• Слід та визначник добутку Кронекера рівні

$\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),$

$\det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.$

Сингулярний розклад та ранг

• Якщо матриця A має r_A ненульових сингулярних значень:

$\sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.$

Ненульові сингулярні значення матриці B:

$\sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.$

Тоді добуток Кронекера A $\otimes$ B має r_Ar_B ненульових сингулярних значень

$\sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.$

• Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

$\operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).$