Добуток Кронекера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Добуток Кронекерабінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається \otimes. Результатом є блочна матриця.

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.

Білінійність, асоціативність та некомутативність[ред.ред. код]

 A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,
 (A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,
 (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
 (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),
де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.
 A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A \otimes B та B \otimes A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

Транспонування[ред.ред. код]

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

Мішаний добуток[ред.ред. код]

  • Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді
 (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.
  • A \otimes B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді
 (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.

Сума та експонента Кронекера[ред.ред. код]

  • Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і I_kодинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера \oplus, як
 A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.
  • Також справедливо
 e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.

Спектр, слід та визначник[ред.ред. код]

  • Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, ..., λnвласні значення матриці A та μ1, ..., μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A \otimes B є
 \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.
  • Слід та визначник добутку Кронекера рівні
 \operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),
 \det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.

Сингулярний розклад та ранг[ред.ред. код]

 \sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.

Ненульові сингулярні значення матриці B:

 \sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.

Тоді добуток Кронекера A \otimes B має rArB ненульових сингулярних значень

 \sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.
  • Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
 \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).