Довгі лінії

Довга лінія — лінія електропередачі, довжина якої перевищує довжину хвилі коливань, що поширюються в ній, а відстань між провідниками, з яких вона складається, значно менше довжини цієї хвилі. Вперше такі лінії з'явилися в 30-х роках XIX століття в телеграфії, а в кінці XX століття стали використовуватися для передачі енергії змінного струму.

В ідеальній лінії передач (без втрат енергії) розповсюджується тільки електромагнітні хвилі, в яких електричні та магнітні поля строго поперечні (ТЕМ-моди). Розподіл цих полів по перерізу точно повторює розподіл електростатичного поля $\mathbf {E}$ у циліндричному конденсаторі та магнітостатичного поля $\mathbf {H}$ в системі циліндричних провідників з поздовжніми струмами.

У загальному випадку, лінії можуть складатися не з двох, а з більшої кількості провідників ($N\gg 2$). Це дозволяє розповсюдженню $N-1$ незалежних мод, що не заважають одна одній (оскільки поля кожної моди знаходяться в своїй площині). Всі ТЕМ-моди розповсюджуються зі швидкістю світла в середовищі, яке залежить від конкретного виконання лінії передачі.

Розгляд лінії передачі проводиться шляхом формального розбиття на малі відрізки та введення поняття розподілених характеристик лінії: розподіленої ємності, тобто ємності на одиницю довжини $C_{0}\$, та розподіленої індуктивності, тобто індуктивності на одиницю довжини $L_{0}\$, що мають у SI розмірності Ф/м та Гн/м, відповідно.

Телеграфні рівняння

Еквівалентна схема елемента лінії передачі

Звичайно, елемент лінії передачі, на якому визначені $C_{0}\$ та $L_{0}\$ вибирають таким чином, щоб його довжина $dx\$ була більшою за відстань між двома провідниками лінії ($l\$):

$dx>l\$.

Кожний такий елемент містить дві індуктивності :$0,5L_{0}C_{0}\$, послідовно включені в обидва провідники лінії передачі, та дві ємності $C_{0}dx\$, включені паралельно на обох кінцях індуктивностей.

Із рівнянь Кірхгофа, складених для такого чотириполюсника, можна записати два диференціальні рівняння, які пов'язують струми та напруги із реактивними розподіленими параметрами ЛП:

${\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)$

${\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)$,

які отримали назву телеграфних рівнянь, оскільки вперше були отримані Олівером Гевісайдом при розгляді телеграфної лінії. Шляхом повторного диференціювання ці рівняння можна привести до диференційних рівнянь другого порядку:

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}V={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V$

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}I$

при виконанні умов:

${\frac {\partial C_{0}}{\partial x}}=0$ та

${\frac {\partial L_{0}}{\partial x}}=0$,

що визначають однорідність лінії передачі.

Загальний розв'язок даної задачі є суперпозицією плоских хвиль:

$I=I_{0}\exp[i(\omega t\pm kx)]$

$V=V_{0}Z_{w}\exp[i(\omega t\pm kx)]$

де

$k={\frac {\omega }{v}}={\frac {2\pi }{\lambda }}$-

хвильове число;

$v={\frac {1}{\sqrt {L_{0}C_{0}}}}$-

швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі;

$Z_{w}={\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}$-

хвильовий опір хвилі в конкретному середовищі.

Очевидно, що $v<c\$, де $c\$- швидкість світла у вакуумі, а $Z_{w}>Z_{0}$, де $Z_{0}$- хвильовий опір вакууму. Оптимальна передача енергії в лінії передачі реалізується в режимі «біжучої хвилі», коли лінія передачі навантажена на опір, рівний хвильовому.

Література

• Молчанов А. П., Занадворов П. Н. Курс электротехники и радиотехники, 2-е изд. перераб., М.:Наука, 1969. — 478 с.
• Физический энциклопедический словарь. Под ред. Прохорова А. М., М.:Сов. энциклопедия, 1983. — 928 с.