Довжина модуля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай M — модуль над кільцем R. Довжина M визначається як супремум чисел n для яких існує послідовність підмодулів:

0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq N_2\subsetneq\ldots\subsetneq N_n=M.

Довжина позначається \ell _R(M) або \ell (M).

Властивості[ред.ред. код]

  • Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
  • Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність 0 \subsetneq N \subsetneq M і довжина модуля не менша 2.
  • Модуль M має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
  • Нехай маємо коротку точну послідовність:
0\to M'\to M\to M''\to 0
тоді \ell(M)=\ell(M')+\ell(M'').
  • З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то
\ell(M) = \ell(N) + \ell(M/N).
Також звідси випливає формула:
\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)


Приклади[ред.ред. код]

  • Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: \dim E = \ell(E).
  • Кільце \Z, що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :
2^n \Z \subsetneq 2^{n-1} \Z \subsetneq \cdots \subsetneq 2 \Z \subsetneq \Z

Література[ред.ред. код]

  • Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.