Додавання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
При додаванні двох яблук до трьох отримуємо п'ять яблук

Додаваннядвомісна математична операція, суть якої полягає в об'єднанні математичних об'єктів.

Операція додавання позначається зазвичай знаком + (плюс). В окремих розділах математики додавання позначається також іншими специфічними для даної області символами ( \or, \bigcup, \sum тощо.)

Операнди операції додавання називаються доданками, результат — сумою. Обернена до додавання операція називається відніманням.

Загальні властивості операції додавання[ред.ред. код]

Результати обчислення
Додавання (+)
1-ший доданок + 2-гий доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-ший множник × 2-гий множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореняпідкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Незалежно від природи математичних об'єктів, які можна додати, додавання характеризується

Від перестановки доданків сума не змінюється.

Будь-яку бінарну операцію, яка задовільняє зазначеним умовам у математиці можна назвати додаванням.

Визначення для конкретних множин[ред.ред. код]

Додавання натуральних чисел[ред.ред. код]

Щоб до натурального числа \ m додати натуральне число \ n потрібно збільшити число \ m на одиницю \ n разів.

Наприклад,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

В аксіоматиці Пеано вся арифметика побудована на додаванні одиниці.

Додавання цілих чисел[ред.ред. код]

Додавання додатних цілих чисел аналогічне додаванню натуральних чисел. Якщо другий додаток від'ємний, то для отримання суми потрібно зменшити перший доданок на відповідну кількість одиниць.

Наприклад,

5 + (-4) = 5 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 4 + (-1) + (-1) + (-1) = 3 + (-1) + (-1) = 2 + (-1) = 1

У множині цілих чисел існує число 0 (нуль) додавання якого до будь-якого іншого цілого числа не змінює його. Наприклад,

5 + 0 = 5

Додавання раціональних чисел[ред.ред. код]

Для додавання раціональних чисел необхідно привести їх до спільного знаменника, а потім додати чисельники, взявши спільний знаменник за знаменник суми.

Наприклад,

 \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}

Додавання ірраціональних чисел[ред.ред. код]

Кожне ірраціональне число є границею певної послідовності раціональних наближень. Якщо ірраціональне число  a = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n, а ірраціональне число  b = \lim_{n\rightarrow \infty} b_n , то

\ a+b  =  \lim_{n\rightarrow \infty} (a_n + b_n)

Додавання комплексних чисел[ред.ред. код]

При додаванні комплексних чисел окремо додаються дійсні і уявні частини

 z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2).

Додавання векторів[ред.ред. код]

Для додавання векторів, визначених у векторному просторі з базисом потрібно додати їхні компоненти

\ (a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n ) = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n )

Додавання матриць[ред.ред. код]

Додавати можна матриці, які мають однакове число рядків і стовпчиків. Сума таких матриць має теж саме число рядків і стовпчиків, а кожен елемент матриці суми є сумою елементів матриць-доданків. Наприклад,


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

Додавання множин[ред.ред. код]

Для множин операція об'єднання задовольнає вимогам комутативності і асоціативності, а тому є аналогом додавання.

Додавання елементів груп[ред.ред. код]

В загальному випадку групові операції не мають властивості комутативності. Групи, для яких групова операція комутативна, називаються абелевими. Якщо групову операцію абелевої групи позначають плюсом, то таку групу називають адитивною.

Додавання в математичній логіці[ред.ред. код]

Докладніше у статті Булева алгебра

В математичній логіці додаванню відповідає операція АБО. Результат цієї операції ІСТИНА якщо хоча б один із операндів має значення ІСТИНА.

Операція додавання в булевій алгебрі позначається символом  \or .

Логіка[ред.ред. код]

У логіці додаванням називають коректну, просту форма аргументації:

A, отже, A або B.

або у логіко-операторній нотації:

 A \vdash A \or B .

Аргумент має одне вихідне припущення A. Із істинності A слідує що A або B є істиною.

Приклад аргументу у формі додавання:

Демократія є найкращою формою управління.
Отже, демократія є найкращою формою управління, або кожен повинен голосувати.

Див. також[ред.ред. код]