Додекаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Додека́едр (від грец. dodeka — дванадцять і грец. hedra — грань), дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули[ред.ред. код]

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

A = (3\sqrt{25+10\sqrt{5}}) a^2 \approx 20.6457288a^2
V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.66311896a^3.

Радіус описаної сфери:

R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1.4a

Радіус вписаної сфери:

r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1.1a

Двогранний кут між гранями:

\alpha=2\arctan{\phi}\approx 116.56^\circ, де \phi - золотий перетин


Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра. Вірус поліомієліту має форму додекаедра. У школі Піфагора довелось би вам лише згадати за стінами школи слово «додекаедр» і вас би вбили на місці. Настільки священною була ця фігура. Про неї навіть не говорили. Лише через 200 років після смерті Платона про неї почали говорити, але дуже обережно. Все тому що вважалося, зо додекаедр розташований у зовнішній частині краю енергетичного поля і є найвищою формою свідомості.

      В додаток до цього ми живемо всередині величезного додекаедра, який містить у собі всесвіт. Додекаедр – це завершуюча фігура геометрії і вона є дуже важливою.

На мікроскопічному рівні додекаедр та ікосаедр є відносними параметрами ДНК по яких побудоване все життя. Можна побачити також, що молекула ДНК є кубом, що обертається. При повороті куба послідовно на 72 градуси по певній моделі, виходить ікосаедр, який, у свою чергу, складає пару додекаедру.

      Таким чином, подвійна нитка спіралі ДНК побудована за принципом двосторонньої відповідності: за ікосаедром слідує додекаедр, потім знову ікосаедр, і так далі. Це обертання через куб створює  молекулу ДНК. Додекаедр і подвійний йому ікосаедр займають особливе місце серед Платонових тіл. Перш за все, нобхідно підкреслити, що геометрія додекаедра та ікосаедра безпосередньо пов'язана із золотою пропорцією . Дійсно, гранями додекаедра є пентагони, тобто правильні п'ятикутники, засновані на золотій пропорції.

Декартові координати[ред.ред. код]

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/φ, ±φ)
(±1/φ, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1/φ)

де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.