Додекаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Додека́едр (від грец. dodeka — дванадцять і грец. hedra — грань), дванадцятигранник — правильний багатогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули[ред.ред. код]

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

A = (3\sqrt{25+10\sqrt{5}}) a^2 \approx 20.6457288a^2
V = \frac{1}{4} (15+7\sqrt{5}) a^3 \approx 7.66311896a^3.

Радіус описаної сфери:

R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1.4a

Радіус вписаної сфери:

r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1.1a

Двогранний кут між гранями:

\alpha=2\arctan{\phi}\approx 116.56^\circ, де \phi - золотий перетин

Приклади в природі[ред.ред. код]

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

Школа Піфагора[ред.ред. код]

У школі Піфагора ця фігура була настільки священною що про неї навіть не говорили. Лише через 200 років після смерті Платона про неї почали говорити, але дуже обережно. Все тому що вважалося, що додекаедр розташований у зовнішній частині краю енергетичного поля і є найвищою формою свідомості.[Джерело?]


Декартові координати[ред.ред. код]

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами

(±1, ±1, ±1)
(0, ±1/φ, ±φ)
(±1/φ, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1/φ)

де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.