Досконала множина

Означення

Досконала множина - це замкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що співпадає з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.

Приклади

• Множина Кантора - це ніде не щільна, досконала множина.
• Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку $[0;1]$ після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай $\alpha$ - довільне додатнє число менше 1. Спочатку видалимо з $[0;1]$ всі точки відкритого інтервалу $\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\alpha;\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\alpha \right)$ довжини $\frac{\alpha}{2}$. Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює $\frac{\alpha}{8}$. Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною $\frac{\alpha}{32}$. Після $n$ кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме $\alpha \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+2^{-n}\right)$, тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме $\alpha$. Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме $1-\alpha$. Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.

Властивості

• Кожна непорожня досконала множина в евклідовому просторі має потужність континуум.
• Множина точок конденсації довільної множини - досконала множина.
• Теорема Кантора-Бендіксона стверджує, що кожна множина дійсних чисел є об'єднанням досконалої множини своїх точок конденсації та зліченної множини. (Тут мається на увазі множина тих точок конденсації, що належать множині, досконалість цієї множини розуміється по відношенню до початкової множини).
• Теорема Девіса стверджує, що кожна незліченна множина дійсних чисел містить досконалу підмножину. Але ця теорема доведена у припущенні аксіоми детермінованості, що протирічить аксіомі вибору.