Досконала множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Означення[ред.ред. код]

Досконала множина - це замкнута множина, що не має ізольованих точок, тобто така, що співпадає з множиною своїх граничних точок, або своєю похідною множиною. Іншими словами множина досконала якщо вона замкнена і щільна в собі. Це визначення справедливе для топологічних просторів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Множина Кантора - це ніде не щільна, досконала множина.
  • Побудуємо сімейство досконалих ніде не щільних множин з додатною мірою. Кожна з цих множин (їх також називають канторовими), це множина точок, що залишаються на відрізку [0;1] після видалення з нього послідовності інтервалів. Нехай \alpha - довільне додатне число менше 1. Спочатку видалимо з [0;1] всі точки відкритого інтервалу \left (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\alpha;\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\alpha \right) довжини  \frac{\alpha}{2}. Із двох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали, довжина кожного з яких дорівнює \frac{\alpha}{8}. Потім з кожного з чотирьох відрізків що залишились видалимо середні відкриті інтервали довжиною \frac{\alpha}{32}. Після n кроків міра видалених інтервалів дорівнюватиме \alpha \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+2^{-n}\right), тому міра сукупності видалених інтервалів після нескінченної послідовності видалень дорівнюватиме \alpha. Міра канторової множини, що залишилась, дорівнюватиме 1-\alpha. Побудовані таким чином множини є досконалими, ніде не щільними множинами додатньої міри.

Властивості[ред.ред. код]