Досконале число

У теорії чисел досконале число  — натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), $6=1+2+3$, тому 6  — досконале число.

Ілюстрація досконалого числа 6

Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається аліквотною сумою, тому досконале число  — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число  — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: $\sigma _{1}(n)=2n$, де $\sigma _{1}(n)$  — функція суми дільників числа $n$. Наприклад, 28  — досконале, оскільки $1+2+4+7+14+28=56=2\cdot 28$.

Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким ${\frac {q(q+1)}{2}}$ є парним досконалим числом тоді, коли $q=2^{p}-1$, $q$ і $p$  — прості числа. Такі $q$ називаються простими числами Мерсенна. Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку форму. Цей результат відомий як теорема Евкліда-Ейлера.

Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел  — 6, 28, 496, 8128 (див. послідовність послідовність A000396 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Історія

Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо $2^{p}-1$  — просте число, то $2^{p-1}(2^{p}-1)$  — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е. Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд $2^{n-1}(2^{n}-1)$, де $2^{n}-1$  — просте число. Здається, він не знав, що $n$ також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28  — досконалі. До Філона приєднались Оріген і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19). Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6  — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними. Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями  — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком. У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.

Парні досконалі числа

Див. також: Теорема Евкліда-Ейлера.

Евклід довів, що $2^{p-1}(2^{p}-1)$ є досконалими, коли $2^{p}-1$ є простим (Начала, твердження IX.36).

Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:

при $p=2$:   $2^{1}(2^{2}-1)=2\cdot 3=6,$

при $p=3$:   $2^{2}(2^{3}-1)=4\cdot 7=28,$

при $p=5$:   $2^{4}(2^{5}-1)=16\cdot 31=496,$

при $p=7$:   $2^{6}(2^{7}-1)=64\cdot 127=8128.$

Прості числа вигляду $2^{p}-1$, відомі як прості числа Мерсенна, названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб $2^{p}-1$ було простим, необхідно щоб і $p$ було простим. Але це не достатня умова; наприклад, $2^{11}-1=2047=23\times 89$ не є простим. Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні  — з 2.610.944 простих чисел менших 43112609, число $(2^{p}-1)$ є простим лише для 47 з них.

Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд $2^{n-1}(2^{n}-1)$, де $2^{n}-1$  — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале число. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула $2^{p-1}(2^{p}-1)$ описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають теоремою Евкліда-Ейлера.

Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду $2^{p-1}(2^{p}-1)$ відповідають

$p$ = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Також знайдено чотири більші досконалі числа, а саме при $p$=57.885.161, 74.207.281, 77.232.917 і 82.589.933, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на грудень 2018 року відомо 51 просте число Мерсенна і, відповідно, 51 парне досконале число (найбільше з яких  — $2^{82589932}(2^{82589933}-1)$ з 49.724.095 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.

Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд $2^{p-1}(2^{p}-1)$, воно ще є $(2^{p}-1)$-им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до $2^{p}-1$), а також є $(2^{p-1})$-им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є $\left({\frac {2^{p}-1}{3}}\right)$-им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі $2^{\frac {p-1}{2}}$ перших непарних кубів:

${\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\left(2^{3}-1\right)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3},\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}$

Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд

$T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{\frac {2^{p}-2}{3}}$,

де кожне трикутне число $T_{7}=28$, $T_{31}=496$, $T_{127}=8128$ після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з $T_{2}=3$, $T_{10}=55$, $T_{42}=903$, $T_{2730}=3727815,\dots$ Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо $8+1+2+8=19$, $1+9=10$, $1+0=1$. Це справедливо для усіх чисел вигляду $2^{m-1}(2^{m}-1)$, де $m$  — непарне число.

Завдяки своїй формі $2^{p-1}(2^{p}-1)$ кожне парне досконале число записується у двійковій системі як $p$ одиниць, а за ними $(p-1)$ нулів. Наприклад,

$6_{10}=2^{2}+2^{1}=110_{2},$

$28_{10}=2^{4}+2^{3}+2^{2}=11100_{2},$

$496_{10}=2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}=111110000_{2},$

$8128_{10}=2^{12}+2^{11}+\cdots +2^{7}+2^{6}=1111111000000_{2}.$

Таким чином парні досконалі числа є згубними числами.

Кожне парне досконале число також є практичним числом.

Непарні досконалі числа

Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числа, з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел. Нещодавно Карл Померанс представив евристичний аргумент, який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існувати. Усі досконалі числа також є гармонічними числами Оре, а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).

Будь-яке непарне досконале число $N$ має задовольняти наступним умовам:

• $N\geq 10^{1500}$
• $N$ не ділиться на 105
• $N$ конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324
• $N$ має вигляд $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}$, де

• $q,p_{1},\dots ,p_{k}$ є різними простими числами (Ейлер);
• $N\equiv \alpha \equiv 1$ (mod 4) (Ейлер);
• Найменший простий дільник числа $N$ менший за ${\frac {2k+8}{3}}$;
• Або $q^{\alpha }>10^{62}$, або $p_{j}^{2e_{j}}>10^{62}$ для деякого $j$;
• $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$;
• $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+\dots +2e_{k}\geq {\frac {21k-18}{8}}$;
• $qp_{1}p_{2}\dots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$.

• Найбільший простий дільник числа $N$ більший за $10^{8}$ і менший за $(3N)^{\frac {1}{3}}$.
• Наступний найбільший простий дільник $N$ більший за $10^{4}$ і менший за $(2N)^{\frac {1}{5}}$.
• Третій найбільший простий дільник $N$ більший за 100.
• $N$ має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.
• Якщо $N$ не ділиться на 3, то $N$ має щонайменше 12 простих дільників.

Також відомо декілька другорядних результатів, що стосуються показників $e_{1},\dots ,e_{k}$ числа $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}}$.

• Не всі $e_{i}\equiv 1$ (mod 3).
• Не всі $e_{i}\equiv 2$ (mod 5).
• Якщо $e_{i}\equiv 1$ (mod 3) або $e_{i}\equiv 2$ (mod 5), найменший простий дільник числа $N$ буде знаходитись в межах від $10^{8}$ до $10^{1000}$.
• У загальному випадку, якщо всі $2e_{i}+1$ мають простий дільник у скінченній множині $S$, то найменший простий дільник числа $N$ має бути найменшим за ефективно обчислювальну константу, що залежить лише від $S$.
• Якщо $(e_{i},\dots ,e_{k})=(1,\dots ,1,2,\dots ,2)$ з $t$ одиницями і $u$ двійками, то ${\frac {t-1}{4}}\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$.
• $(e_{i},\dots ,e_{k})\neq (1,\dots ,1,3)$, $(1,\dots ,1,5)$, $(1,\dots ,1,6)$.
• Якщо $e_{1}=\dots =e_{k}=e$, то

• $e$ не може дорівнювати 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 або 18.
• $k\leq 2e^{2}+8e+2$ і $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$.

У 1888 році Сильвестр стверджував: «… довгі роздуми на цю тему переконали мене, що існування будь-якого такого (непарного досконалого) числа  — це вихід із величезної павутини умов, що його оточують, і є просто чудом.»

Багато властивостей, доведених відносно непарних досконалих чисел, також стосуються чисел Декарта, а тому Пейс Нільсен припустив, що достатнє вивчення таких чисел може привести до доведення відсутності непарних досконалих чисел.

Незначні результати

Усі парні досконалі числа мають дуже точну форму; непарні досконалі числа або не існують, або є дуже рідкісними. Є цілий ряд результатів щодо досконалих чисел, які насправді досить легко довести, але, втім, є вражаючими; деякі з них підходять під сильний закон малих чисел Річарда Ґая:

• 28  — єдине парне досконале число вигляду $x^{3}+1$
• 28  — також єдине парне досконале число, яке є сумою кубів двох додатних чисел
• Сума чисел, обернених до дільників досконалого числа, дорівнює двійці (щоб отримати це, необхідно скористатися означенням досконалого числа $\sigma _{1}(n)=2n$ і поділити обидві частини рівності на $n$):

• Для 6 маємо: ${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2$;
• Для 28 маємо: ${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}=2$, і так далі.

• Кількість дільників будь-якого досконалого числа (парного чи непарного) має бути парною, оскільки досконале число $N$ не може бути повним квадратом

• З двох зазначених вище властивостей випливає, що кожне досконале число є гармонічним числом Оре.

• Парні досконалі числа не є трапецієвидними числами; тобто їх не можна представити у вигляді різниці двох додатних непослідовних трикутних чисел. Існує лише три типи нетрапецієвидних чисел: парні досконалі числа, степені двійки і числа вигляду $2^{n-1}(2^{n}-1)$, які утворені як добуток простого числа Ферма $2^{n}-1$ та $2^{n-1}$, що аналогічно побудові досконалих чисел з простих чисел Мерсенна.
• Кількість досконалих чисел менших за $n$ менша за $c{\sqrt {n}}$, де $c$  — додатна константа. Насправді це $o({\sqrt {n}})$ (використовується позначення $o$-малого).
• Кожне парне досконале число закінчується на 6 чи 28 в десятковій системі і закінчується на 1 (за винятком числа 6) в системі за базою 9. Тому цифровий корінь будь-якого парного досконалого числа (відмінного від 6) дорівнює 1.
• 6  — єдине досконале число, яке є безквадратичним.

Пов'язані поняття

Діаграма Ейлера для надлишкових, недостатніх, досконалих і т. д. чисел, менших за 100.

Сума власних дільників дає різні інші види чисел. Числа, де сума їх дільників менша за саме число, називають недостатніми, а де більша  — надлишковими. Ці терміни і саме поняття досконалих чисел прийшло до нас з грецької нумерології. Пари чисел, які є сумами власних дільників один одного, називаються дружними, а більші цикли таких чисел називаються компанійськими. Натуральне число таке, що кожне менше за нього натуральне число є сумою його різних дільників, називається практичним.

За означенням, досконале число  — нерухома точка обмеженої функції дільників $s(n)=\sigma (n)-n$, а пов'язана з досконалими числами аліквотна послідовність є постійною послідовністю. Всі досконалі числа також є ${\mathcal {S}}$-досконалими або числами Гранвіля.

Напівдосконале число  — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх або деяких власних дільників. Напівдосконале число, яке дорівнює сумі всіх власних дільників, є досконалим числом. Більшість надлишкових чисел також є напівдосконалими; надлишкові числа, що не є напівдосконалими, називаються дивними.

Див. також

• Гіпердосконале число
• Група Ленстера
• Список досконалих чисел
• Багаторазове досконале число
• Супердосконалі числа

Посилання

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers [Архівовано 28 грудня 2014 у Wayback Machine.]
• Perfect numbers — History and Theory [Архівовано 30 червня 2004 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Perfect Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
• Great Internet Mersenne Prime Search [Архівовано 14 серпня 2021 у Wayback Machine.] (GIMPS)
• Perfect Numbers [Архівовано 12 лютого 2015 у Wayback Machine.], math forum at Drexel.
• Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Архів оригіналу за 31 травня 2013. Процитовано 2 квітня 2013.

Література

• Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website [Архівовано 2 березня 2011 у Wayback Machine.] for a translation and discussion of this proposition and its proof.
• Kanold, H.-J. (1941). Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 183: 98—109.
• Steuerwald, R. Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl. S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937: 69—72.

Додаткова література

• Nankar, M.L.: "History of perfect numbers, " Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Riele, H.J.J. «Perfect Numbers and Aliquot Sequences» in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. с. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.