Дотичний вектор

Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.

Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.

Дотичний вектор до підмноговиду

Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду $M$ евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в $M$.

Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:

$r:\R^m\to \R^n$ С $p=r(0)\$

є довільна лінійна комбінація частинних похідних $\frac{\partial r}{\partial x_i}(0)$.

Зауваження

• Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості $C^1$.
• Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в $\R^{2n}$. За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.

Абстрактні гладкі многовиди

Дотичний вектор як клас еквівалентності шляхів

Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі $\mathbb{R}^n$. Нехай в $\mathbb{R}^n$ задано гладкий шлях $\mathbf{f}:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n$:

$\mathbf{f}(t) = f_1(t)\mathbf{e}_1 + f_2(t)\mathbf{e}_2 + \dots + f_n(t)\mathbf{e}_n$

Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t₀:

$\mathbf{l}(t) = \mathbf{f}(t_0) + (t-t_0)\left({\partial f_1 \over \partial x_1}(t_0) \mathbf{e}_1 + {\partial f_2 \over \partial x_2}(t_0)\mathbf{e}_2 + \dots + {\partial f_n \over \partial x_n}(t_0)\mathbf{e}_n\right)$

Дотик двох шляхів означає, що різниця $\mathbf{f}(t)$ — $\mathbf{f'}(t) = o (t-t_0)$; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x₀ можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x₀ в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.

Дотичний вектор як диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції $f:M\to \R$ число $Xf$ і мають такі властивості:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh,$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh).$

множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:

$(X+Y)f=Xf+Yf;$

$(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).$

Це простір назвемо дотичним до многовиду $M$ в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.

Див. також

• Гладкий многовид
• Дотичний простір

Література

1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
2. Зорич В.А., Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
3. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.