Дотичний простір

Дотичний простір $\scriptstyle T_xM$ і дотичний вектор $\scriptstyle v\in T_xM$, подовж кривої $\scriptstyle \gamma (t)$, що проходить через точку $\scriptstyle x\in M$

Дотичний простір до гладкого многовиду $M$ в точці $x$ — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природню структуру векторного простору.

Дотичний простір до $M$ у точці $x$ зазвичай позначають $T_xM$ або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто $T_x$.

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці $p$ підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення

Через диференціювання в точці

Нехай $M$ — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці $p$. Тобто простір операторів $X$ які дають число $Xf$ для кожної гладкої функції $f:M\to \R$, і володіють такими властивостями:

• Адитивність: $X(f+h)=Xf+Xh$
• Правило Лейбніца: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh)$

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці $p$ можна ввести структуру лінійного простору:

$(X+Y)f=Xf+Yf$

$(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).$

Через локальні координати

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $x \in M$ і $\phi$ — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо $C^\infty (X, x, \R)$ множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці $x$ називається відображення:

$v: C^\infty (X, x, \R) \to \R$

таке що існують дійсні числа $a_1, \ldots, a_n$ з наступною властивістю. Для довільної функції $f \in C^\infty (X, x, \R),:$

$v(f) = \sum_{i=1}^n a_i \frac{\partial}{\partial r_i}(f \circ \phi^{-1})|_{\phi(x)}$

де $r_i$ — координати простору $\R^n.$

Визначення через криві

Нехай $M$ — гладкий многовид розмірності n, $p \in M$ і $\phi$ — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві $\gamma_1, \gamma_2: (-1,1) \to M,$ такі що $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p.$ Тоді $\gamma_1, \gamma_2$ називаються еквівалентними, якщо $\frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma_1) (0) = \frac{d}{dt} ( \phi \circ \gamma_2) (0).$ Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом $\frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma) (0)$ у $\R^n$ цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості

• Дотичний простір $n$-вимірного гладкого многовиду є $n$-вимірним векторним простором.
• Для обраної локальної карти $x_1,\dots, x_n$, оператори $X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p)$ являють собою базис $T_p$, який називають голономним базисом.

Пов'язані означення

• Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також

• Кодотичний простір
• Дотичний вектор

Література

1. В.А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
2. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
4. У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.