Дробовий ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дробовий ідеалпідмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд \ Q = a^{-1} I, де a \in R, a \neq 0, Iідеал кільця R.

У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент a \in R, a \neq 0, такий, що ax \in R для всіх x \in Q.

Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум \sum_n i_n j_n, \ i_n \in Q, \ j_n \in P. Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу \mathfrak{A} з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал

 Q^* = (R:Q) = \{x \in K \ | \ xQ \subset R\}.

Очевидно  Q^*Q \subset R. Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи \mathfrak{A} і дробовий ідеал Q^* є його оберненим елементом.

Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа \mathfrak{A} є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.

Оборотні елементи напівгрупи \mathfrak{A} називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.

Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду aR, ~a \in K. Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал a^{-1}R. Два головних ідеали aR, ~a \in K і bR, ~b \in K рівні тоді і тільки тоді, коли a = be, де e — оборотний елемент кільця R.

Дивізоріальні ідеали[ред.ред. код]

Нехай \tilde Iперетин всіх головних дробових ідеалів, що містять дробовий ідеал I. Еквівалентно,

\tilde I = (R : (R : I)),

де

(R : I) = \{ x \in K : xI \subseteq R \} .

Якщо \tilde I = I тоді ідеал I називається дивізоріальним.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]