Дробовий ідеал

Дробовий ідеал — підмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд $\ Q = a^{-1} I$ , де $a \in R, a \neq 0, I$ — ідеал кільця R.

У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент $a \in R, a \neq 0,$ такий, що $ax \in R$ для всіх $x \in Q.$

Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум $\sum_n i_n j_n, \ i_n \in Q, \ j_n \in P.$ Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу $\mathfrak{A}$ з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал

$Q^* = (R:Q) = \{x \in K \ | \ xQ \subset R\}.$

Очевидно $Q^*Q \subset R.$ Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи $\mathfrak{A}$ і дробовий ідеал $Q^*$ є його оберненим елементом.

Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа $\mathfrak{A}$ є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.

Оборотні елементи напівгрупи $\mathfrak{A}$ називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.

Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду $aR, ~a \in K.$ Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал $a^{-1}R.$ Два головних ідеали $aR, ~a \in K$ і $bR, ~b \in K$ рівні тоді і тільки тоді, коли $a = be,$ де e — оборотний елемент кільця R.